Una curva que pasa por dos vértices de un triángulo, cuyas líneas tangentes bisecan el área de dicho triángulo

Question

Digamos que tenemos un triángulo $ABC$ . Quiero encontrar una curva $\gamma:[0,1]\to\mathbb{R}^2$ tal que $\gamma(0)=A$ , $\gamma(1)=B$ y para todos $t\in(0,1)$ la línea tangente en $\gamma(t)$ divide $\triangle ABC$ en dos trozos de la misma área (un triángulo menor y un cuadrilátero). La curva puede ser tan suave como sea necesario, por supuesto.

Se me ocurrió este problema hace una semana y al principio me salieron unas cuantas ecuaciones. Ahora estoy ocupado en otras cosas, así que publico el problema antes de que se me olvide. ¡Saludos!

Answer 1

Para simplificar las cosas, consideraré un triángulo rectángulo con catetos unitarios $AC$ y $BC$ con ejes de coordenadas a lo largo de las piernas. A partir de esto, se puede obtener el caso general con una transformación de coordenadas adecuada.

Si tomamos $P=(0,t)$ en $AC$ y quiere dividir el triángulo en dos partes equivalentes a través de una línea que corta $BC$ en $Q$ es fácil de encontrar $\displaystyle Q=\bigg({1\over2t},0\bigg)$ , siempre y cuando $1/2\le t\le 1$ . La envoltura de todas esas líneas $PQ$ es la hipérbola de ecuación $xy=1/8$ (punteada en el diagrama), pero esta curva no pasa por $A$ y $B$ .

Sin embargo, podemos tomar sólo la parte central de esta curva, desde $F=(1/4,1/2)$ a $G=(1/2,1/4)$ y extenderlo con dos segmentos $AF$ y $GB$ tocando la hipérbola en $F$ y $G$ . La curva compuesta resultante (en rojo en el diagrama) es una vez diferenciable y hace el trabajo solicitado.