Me topé con la definición del centro Z de un grupo G: $$Z= \{x \in G \mid xz = zx \text{ for all } z \in G\}$ $ El nombre "centro" parece sugerir que hay algún tipo de interpretación geométrica del concepto que no veo. Mi pregunta es la siguiente: ¿hay alguna intuición / motivación detrás de la opción de nombrar a $Z$ el "centro" de un grupo?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Un elemento se llama central si conmuta con todo lo demás ... es decir, no importa si se multiplica por la izquierda o por la derecha, por lo que puede pensar que dicho elemento se multiplica en el "centro" de cualquier producto que sea. a partir de allí, es un paso fácil comenzar a llamar al centro de todos los elementos de este tipo. Y desde allí lo llamamos $Z(G)$ , la Z es una abreviatura de la palabra alemana para centrar si recuerdo bien.
Luca Carlotto
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En virtud de izquierda y derecha, multiplicaciones, un grupo de $G$ "naturalmente vive" en $Sym(G)$ (el grupo de todos los bijections de $G$ dentro de sí mismo) en la forma de un par de subgrupos de $Sym(G)$, decir $\Theta$ e $\Gamma$, tanto de la que es isomorfo a. Estos subgrupos de viaje, por lo $\Theta\Gamma$ es también un subgrupo de $Sym(G)$. Por último, y esto es sobre todo relevante para su pregunta, $Z(G)$ resulta ser isomorfo a $\Theta \cap \Gamma$. Luego, en $Sym(G)$ todo parece simétrica alrededor del "centro" $\Theta \cap \Gamma$:
Para mayor claridad, no estoy diciendo que esta es realmente la razón por la que el centro fue históricamente llamado de esa manera. Es sólo una forma de "dibujos" que se encontró para mí aceptar que ese nombre tiene sentido en realidad.
Lafe
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