Encontrar un formulario cerrado para$\int_{0}^{1}\frac{\ln\left ( 1-x^{2} \right )\arcsin ^{2}x}{x^{2}}\mathrm{d}x\approx -0.939332$

Question

Estoy tratando de encontrar un formulario cerrado para

PS

Intenté usar $$\int_{0}^{1}\frac{\ln\left ( 1-x^{2} \right )\arcsin ^{2}x}{x^{2}}\mathrm{d}x\approx -0.939332$ $ pero no funcionó y se volvió aún más complicado. Cualquier ayuda sería apreciada.

Answer 1

Las siguientes formas cerradas son propuestas por Cornel Ioan Valean ,

\begin{equation*} 8 \log (2)G+7 \zeta (3)+\frac{\pi ^3}{4}- \frac{\pi ^2}{2} \log (2)+\pi \log ^2(2)-16 \Im( \text{Li}_3(1+i)) \end {ecuación *} o \begin{equation*} 8 \log (2)G+7 \zeta (3)-\frac{\pi ^3}{2}- \frac{\pi ^2}{2} \log (2)+4 \, _4F_3\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},1,1;\frac{3}{2},\frac{3}{2},\frac{3}{2};1\right). \end {ecuación *}

Usó ideas de su próximo libro, (Casi) Integrales, sumas y series imposibles .

Answer 2

Al usar series, obtengo $$ -2 \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {{4} ^ {k} \ left (\ Psi \ left (k +3/2 \ right) + \ gamma \ right) \ left (k! \ right) ^ {2}} {\ left (1 +2 \, k \ right) \ left (2 \, k +2 \ right)!}} $$ Pero yo No esperes que haya una forma cerrada.

Answer 3

Un inicio

$$\frac{\arcsin(x)^2}{x^2}=\sum_{n\geq1}\frac{2^{2n-1}}{n^2{2n\choose n}}x^{2n-2}$$ Así $$I=\int_0^1\frac{\log(1-x^2)\arcsin(x)^2}{x^2}\mathrm dx=\sum_{n\geq1}\frac{2^{2n-1}}{n^2{2n\choose n}}\int_0^1x^{2n-2}\log(1-x^2)\mathrm dx$$ A continuación, veremos $$J(n)=\int_0^1x^{2n-2}\log(1-x^2)\mathrm dx$$ Wolfram Alpha produce $$J(n)=\frac1{1-2n}H_{n-1/2}$$ Donde $H_n$ es el $n$-ésimo número armónico. Esto también puede ser escrito como $$J(n)=\frac1{1-2n}\left[\psi(n+1/2)+\gamma\right]$$ Donde $\psi(s)$ es el dilogarithm y $\gamma$ es el de Euler-Mascheroni constante.

Eso es todo lo que tengo por ahora.