Función completa $f(z)$ crece como $\exp(x^\pi)$ como $x\to+\infty$

Question

¿Existe una función completa $f(z)$ tal que $\lim_{x\to+\infty}f(x)/\exp(x^\pi)=1$ (a lo largo del eje real)?

He construido con éxito $f(z)$ cuando $\pi$ se sustituye por un número racional $\frac pq$ .
Para $\lim_{x\to+\infty}f(x)/\exp(x^{p/q})=1$ , toma $$f(z)=\exp(z^{p/q})+\exp(z^{p/q}e^{2/q\pi i})+\exp(z^{p/q}e^{4/q\pi i})+\cdots+\exp(z^{p/q}e^{2(q-1)/q\pi i})$$ Es fácil de verificar $\lim_{x\to+\infty}f(x)/\exp(x^{p/q})=1$ .

Prueba de $f(z)$ está completo
Es fácil ver $f(z^q)$ está completo. Denote $$g(z)=\exp(z^p)+\exp(z^pe^{2/q\pi i})+\exp(z^pe^{4/q\pi i})+\cdots+\exp(z^pe^{2(q-1)/q\pi i}),$$ $g$ tiene propiedad $g(z)=g(ze^{2/q\pi i})$ y $f(z)=g(z^{1/q})$ .
Dejemos que $g(x)=a_0+a_1x+\cdots$ sustituyendo $g(z)=g(ze^{2/q\pi i})$ repetidamente y resolviendo la ecuación simultánea se obtiene $g(x)=a_0+a_qx^q+a_{2q}x^{2q}+\cdots$ . De ahí que la totalidad de $f$ .

Pero para $\pi$ ? No puedo tomar el límite con respecto a $p/q$ . No tengo ni idea de cómo proceder.

Answer 1

Definir

$$f(z)=\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{z}{n^{1/\pi}}\right)^{\lceil n\pi\rceil} \frac{n^n}{n!}$$

donde $\lceil n\pi\rceil$ es el menor número entero mayor o igual a $n\pi,$ y el $n=0$ El término es $1$ por convención. Entonces $f$ es entera: converge más rápido que la serie de potencias habitual para $\exp(z^4).$

Tenemos que demostrar que $\exp(-x^\pi)f(x)\to 1$ como $x\to\infty.$ Dejemos que $N$ sea una variable aleatoria distribuida de Poisson con media $x^\pi,$ y que $Y=(xN^{-1/\pi})^{\lceil N\pi\rceil-\pi N}$ (con $Y=1$ para $N=0$ ). Entonces

$$ \exp(-x^\pi)f(x) =\exp(-x^\pi)\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{x}{n^{1/\pi}}\right)^{\lceil n\pi\rceil-\pi n} \frac{x^{\pi n}}{n!} =\mathbb E[Y].$$

A partir de aquí la prueba es sólo una estimación probabilística rutinaria. Consideremos un $0<\epsilon<1$ y grandes $x$ (el tamaño se determinará más adelante, en función de $\epsilon$ ). Sea $E$ sea el evento $x/N^{1/\pi}\in (\exp(-\epsilon),\exp(\epsilon))$ o en otras palabras $N\in (x^\pi e^{-\epsilon\pi},x^\pi e^{\epsilon\pi}).$ La varianza de $N$ es $x^\pi,$ así que por la desigualdad de Chebyshev, $\mathbb P[E]$ es al menos $1-O(x^{-\pi}\epsilon^{-2}).$ Esto significa que es posible elegir $x$ lo suficientemente grande como para que $\mathbb P[E]\geq 1-\epsilon/x.$ Entonces, como $\epsilon\to 0$ obtenemos $\mathbb E[Y1_E]\to 1,$ y $\mathbb E[Y(1-1_E)]\leq x(1-\mathbb P[E])\to 0.$ Esto da $\mathbb E[Y]\to 1$ según sea necesario.

Answer 2

Empecemos con la función completa $$ f_1(z) = \dfrac{1-e^{-z}}{z} $$ y que $$ f_2(z) = \int_1^z f_1(w) \,\mathrm{d}w + \int_1^\infty\dfrac{e^{-t}}{t} \,\mathrm{d}t. $$ (El último término es una integral real impropia con el objetivo de anular la integral de $e^{-w}/w$ .)

De verdad $x>1$ tenemos \begin{align*} f_2(x) &= \int_1^x\left(\frac1t-\frac{e^{-t}}t\right) \,\mathrm{d}t + \int_1^\infty\dfrac{e^{-t}}{t} \,\mathrm{d}t \\ &= \log x + \int_x^\infty \dfrac{e^{-t}}{t} \,\mathrm{d}t \\ &= \log x + O(e^{-x}/x). \end{align*}

Entonces considere $f_3(z) = \exp \big(\pi f_2(z)\big)$ y $f(z) = \exp f_3(z)$ obtenemos \begin{align*} f_3(x) &= \exp\Big(\pi\log x + O(e^{-x}/x)\Big) \\ &= x^\pi\cdot\exp\Big(O(e^{-x}/x)\Big) \\ &= x^\pi\Big(1+O(e^{-x}/x)\Big) \\ &= x^\pi+O\big(x^{\pi-1}e^{-x}\big) \end{align*} así que \begin{align*} f(x) &= \exp(f_3(x)) = \exp(x^\pi) \cdot \exp\Big(O\big(x^{\pi-1}e^{-x}\big)\Big) =\\ &= \exp(x^\pi) \cdot\Big(1+O\big(x^{\pi-1}e^{-x}\big)\Big), \end{align*} si $x\to+\infty$ .

Por lo tanto, $$ f(z) = \exp \exp \Bigg( \pi\cdot \bigg( \int_1^z \frac{1-e^{-w}}w \,\mathrm{d}w + \int_1^\infty\dfrac{e^{-t}}{t} \,\mathrm{d}t \bigg)\Bigg) $$ es una función entera, que satisface $f(x)\sim e^{x^\pi}$ si $x$ es real y $x\to\infty$ .