¿Es esta declaración realmente tan técnica para probar?

Question

Deje $\{X_i\}_{i\in I}$ una familia de espacios topológicos y $X=\prod_{i\in I}X_i$ el valor del producto de la topología, es decir, un subbasis $\mathcal{C}$ de ella está dada por

$$\mathcal{C}=\left\{\left.{\textstyle\prod_{i\in I}Y_i}\;\right|\;\exists j\in I:Y_j\text{ is open in }X_j\text{ and }\forall i\in I:i\neq j\Rightarrow Y_i=X_i\right\}$$

Ahora la base de los $\mathcal{B}$ inducida por $\mathcal{C}$ está dado por

$$\mathcal{B} = \left\{\left.{\textstyle \bigcap_{A\in\mathcal{A}}A}\;\right|\; \mathcal{A}\subseteq\mathcal{C}\text{ is finite}\right\}$$

Dada la descripción de $\mathcal C$ "de inmediato" se deduce que $$\mathcal{B}=\left\{\left.{\textstyle\prod_{i\in I}Y_i}\;\right|\;\exists J\subseteq I\text{ finite, }\forall i\in I: Y_i\text{ is open in }X_i\text{ and }\left(i\notin J\Rightarrow Y_i=X_i\right)\right\}$$

Pero el trabajo de los detalles de la prueba, he notado que es bastante complicado si se hace riguroso. ¿Hay una manera fácil para probar la igualdad de arriba?

Por ejemplo, supongamos $\mathcal A\subseteq \mathcal C$ ser finito. Para cada una de las $A\in\mathcal A$ hay un $j\in I$ tal que para todos los $i\in I$ $i\neq j$ tiene $\operatorname{pr}_i A = X_i$, denotar esta* función de $g:\mathcal A\to I$ (*$g$ no es el único, cuando $X\in\mathcal A$). $g$ básicamente se refiere a los "dimensión" donde no tenemos el conjunto completo (a menos que $A=X$ o $A=\emptyset$). $g$ no es necesariamente inyectiva, conjunto $$\mathcal A'=\left\{\left.\bigcap_{A\in g^{-1}\{i\}}A\;\right|\;i\in I:g^{-1}\{i\}\neq\emptyset\right\}$$ $\mathcal A'$ es finito y tenemos $\bigcap_{A\in\mathcal A}A=\bigcap_{A\in\mathcal A'}A$. Por otro lado, si definimos $g':\mathcal A'\to I$ de forma análoga a $g$ por encima, ahora $g'$ es inyectiva (dado $X,\emptyset\notin\mathcal A$). Además, para cada una de las $i\in I$ $g^{-1}\{i\}\neq\emptyset$ existe un $Z_i$ tal que $$\bigcap_{A\in g^{-1}\{i\}}A=\prod_{j\in I}Z_j^i$$ con $Z_i^i=Z_i$ (en $X_i$) y para $j\neq i:Z_j^i=X_j$. Finalmente tenemos $$\bigcap_{A\in \mathcal A} A = \bigcap_{i\in\operatorname{rng}g}\bigcap_{A\in g^{-1}\{i\}}A=\prod_{i\in I}Y_i$$ con $Y_i=Z_i$ $i\in\operatorname{rng} g$ $Y_i=X_i$ más. Establecimiento $J=\operatorname{rng}g$, y observando que $J$ es finito porque $\mathcal A$ es finito, terminamos la primera inclusión.

Incluso con la omisión de algunos pasos más pequeños y casos especiales, esto es todavía muy largo. Mientras yo estoy en conocimiento intuitivo de las cosas bien puede tener a largo pruebas (ver teoría de la medida), estoy bastante sorprendido de si este sería el caso aquí, ya que la igualdad anterior se toma generalmente como claro en los libros que he leído, sin mencionar que es la prueba técnica (como he visto que, por ejemplo, en teoría de la medida).

Answer 1

Es sobre todo una cuestión de notación. Dejando $\pi_i$ ser la proyección de$\prod_{j \in I} X_j$$X_i$, para todos los $i \in i$, me gustaría indicar que la subbase como

$$\mathcal{C} = \{ \pi_i^{-1}[O_i]: i \in I, O_i \text{ open in } X_i\}$$

y la inducida por la base, que de hecho consiste en intersecciones finitas de los miembros de $\mathcal{C}$ es, entonces, todos los conjuntos de la forma $\cap_{j \in F} \pi_j^{-1}[O_j]$ donde $F$ es un conjunto finito de índices, y todos los $O_j$ están abiertas en $X_j$. Si tuviéramos que elegir dos de estos conjuntos con el mismo índice de $j$, podríamos ponerlos juntos en este formulario también, como $\pi_j^{-1}[O_j] \cap \pi_j^{-1}[O'_j] = \pi_j^{-1}[O_j \cap O'_j]$ etc. Así, podemos asumir WLOG que tenemos diferentes índices de $j$.

A continuación, tenga en cuenta que $\cap_{j \in F} \pi_j^{-1}[O_j] = \prod_{i \in I} Y_i$ donde $Y_i = X_i$ si $j \notin F$$Y_i = O_i$$i \in F$.

Prueba: supongamos $x \in \cap_{j \in F} \pi_j^{-1}[O_j]$, para todos los $i$ por supuesto $x_i \in X_i$ pero si $i \in J$ tenemos que $x \in \pi_j^{-1}[O_j]$, por lo que, por definición,$x_j = \pi_j(x) \in O_j$. Por lo $x$ es el producto conjunto de la derecha, por definición. Si $x$ es en ese conjunto de productos, y $j \in F$ $x_j \in O_j$ y este dice $x \in \pi_j^{-1}[O_j]$, y como esto es válido para todas $j \in F$, $x \in \cap_{j \in F} \pi_j^{-1}[O_j]$, por lo que muestra la otra inclusión.

Así lo finito intersecciones de la subbasic elementos de la forma canónica de la base del producto se establece como también describió. Yo no veo ninguna dificultad técnica aquí...