Ecuación de una recta tangente a circunferencia

Question

Descubra la ecuación general de la recta tangente a la circunferencia $x^2 + y^2 - 2x + 4y + 1 = 0$ por el punto de $(3,4)$. NO CÁLCULO.

• por la circunferencia de ecuación descubrí que $C(1, -2)$ $r=2$
• con el punto de $P(3,4)$ me puse en la línea de la ecuación:

  $$(y - yo) = m (x - xo)$$ $$y - 4 = mx - 3m$$ $$mx - y + 4 - 3m = 0$$

• con la ecuación y el punto de la circunferencia, los puse en la distancia entre el punto y la línea ecuación:

• $$\frac{|a x + by + c|} { \sqrt{a² + b²}} = 2$$

  $$\frac{|m + (-2)(-1) + 4 - 3m|}{ \sqrt{(m)² + (-1)²}} = 2$$

  $$\frac{|-2m + 6| }{ \sqrt{m² + 1} }= 2$$

  $$\left(\frac{|-2m + 6| }{\sqrt{m2 + 1 }}\right)^2 = 2^2$$

  $$4m² - 24m + 36 = 4m² + 4$$

  $$m = \frac{3}{4}$$

• Con esto he encontrado la ecuación: $\frac{3}{4}x - y = 0$

Wolfram gráfico: http://www.wolframalpha.com/share/clip?f=d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427eohl0i7ciu3

Gracias a todos!

Answer 1

Su ecuación describe un círculo de radio dos centrado en el punto$(1,-2)$. Una línea a través de un punto$(x,y)$ en el círculo es tangente al círculo si y solo si es perpendicular a la línea desde el centro al punto$(x,y)$ y esta línea tiene una pendiente$(y+2)/(x-1)$. Por lo tanto, podría resolver simultáneamente las ecuaciones$$\frac{y-4}{x-3}=-\frac{x-1}{y+2} \: \text { and } \: x^2-2 x+y^2+4 y+1=0.$ $

Answer 2

• por la circunferencia de ecuación descubrí que $C(1, -2)$ $r=2$
• con el punto de $P(3,4)$ me puse en la línea de la ecuación:

  $$(y - yo) = m (x - xo)$$ $$y - 4 = mx - 3m$$ $$mx - y + 4 - 3m = 0$$

• con la ecuación y el punto de la circunferencia, los puse en la distancia entre el punto y la línea ecuación:

• $$\frac{|a x + by + c|} { \sqrt{a² + b²}} = 2$$

  $$\frac{|m + (-2)(-1) + 4 - 3m|}{ \sqrt{(m)² + (-1)²}} = 2$$

  $$\frac{|-2m + 6| }{ \sqrt{m² + 1} }= 2$$

  $$\left(\frac{|-2m + 6| }{\sqrt{m2 + 1 }}\right)^2 = 2^2$$

  $$4m² - 24m + 36 = 4m² + 4$$

  $$m = \frac{3}{4}$$

• Con esto he encontrado la ecuación: $\frac{3}{4}x - y = 0$

Wolfram gráfico: http://www.wolframalpha.com/share/clip?f=d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427eohl0i7ciu3

Answer 3

Método 1 ( no estoy seguro de si se puede utilizar el análisis vectorial, si no, vea el Método 2)

La ecuación del círculo es $(x-1)^2+(y+2)^2=4$. $O=(1,-2), M=(3,4)$ A continuación, los puntos del círculo tiene forma de $P=(1+2cos(\theta),-2+2sin(\theta)),\theta \in [0,2\pi)$. A continuación, el $OP=(2cos(\theta),2sin(\theta))$, $PM=(-2+2cos(\theta),-6+2sin(\theta))$. Desde $OP$ es perpendicular a $PM$,$PM \cdot OP=0$, entonces obtenemos $3sin(\theta )+cos(\theta )=1$. A continuación, se combinan con $sin^2(\theta )+cos^2(\theta )=1$, podemos obtener dos puntos (el sistema puede resolverse fácilmente por $\sin(\theta_1)=0, \sin(\theta_2)=\frac{3}{5}$). Entonces tenemos dos líneas.

Método 2

Observamos $P_1=(3,-2)$ está en el círculo, por lo tanto una línea tangente debe ser $x=3$. A continuación, el otro punto de $P_2=(x,y)$ debe ser simétrico w.r.t $P_1$ en términos de la línea que pasa a través de $OM$.

Escriba la línea de $y=x+1$, resolver por $P_2$. El uso de $P_1P_2$ es perpendicular a la OM, el punto medio de la $P_1P_2$ está en la línea $OM$. (sólo necesita resolver para la ecuación lineal, en lugar de una ecuación de segundo grado), se obtiene $$ \frac{y+2}{x-3}=-1 \quad \text{and} \quad \frac{x+3}{2}+1=\frac{y-2}{2}.$$ Solve for $(x,y)$, obtenemos la otra línea tangente.

Answer 4

el círculo tiene la ecuación$(x-1)^2+(y-2)^2=4$ por diferenciación implícita obtenemos$2(x-1)+2(y-2)y'=0$ por lo que obtendrás la pendiente de tu línea tangente