Tengo problemas para resolver este problema:
Determine todos los números enteros x e y tales que $|2^x 3^y| =1$
Me parece que las únicas soluciones son $x = y = 1$ .
¿Cómo puedo demostrar que no hay otras soluciones?
Si hay otras soluciones, ¿cómo puedo encontrar todas las soluciones?
Sugerencia: Si $2^x - 3^y = 1$ entonces $2^x = 1 + 3^y$ . Tomar ambos lados modulo $16$ : $$2^x \equiv 1 + 3^y \pmod{16}.$$ Si $x\ge 4$ entonces el lado izquierdo es $0$ . La secuencia de $3^y \pmod{16}$ es $3,9,27=11,81=1,3,9,11,\ldots$ por lo que el lado derecho es $1+3=4$ , $1+9=10$ , $1+11=12$ o $1+1=2$ , ninguno de los cuales es equivalente a $0\pmod{16}$ . Por lo tanto, no hay soluciones cuando $x\ge 4$ .
Ahora, ¿qué pasa si $2^x - 3^y = -1$ ?
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¿Qué pasa con $x=3$ y $y=2$ ?
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$x=2$ y $y=1$ .
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