¿Cuál es el significado del parámetro en el teorema de Noether?

Question

Según la explicación del teorema de Noether en el libro QFT de Peskin & Schroeder, pp. 17-18,

Si el Lagrangiano $\mathcal{L}(x)$ cambia a $$\mathcal{L}(x)+\alpha\partial_\mu\mathcal{J}^\mu\tag{2.10}$$ cuando el campo $\phi(x)$ cambia a $$\phi^\prime(x)=\phi(x)+\alpha\Delta\phi(x),\tag{2.9}$$ hay un corriente $$j^\mu=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\Delta\phi-\mathcal{J}^\mu,\tag{2.12}$$ que está conservada.

No entiendo por qué se usa el parámetro $\alpha, aunque al final desaparece. ¿Qué significado tiene? En el libro, $\alpha$ se refiere a un parámetro infinitesimal y $\Delta\phi$ es alguna deformación del campo. Si $\Delta\phi$ es una deformación del campo, ¿por qué simplemente definir el campo como $$\phi^\prime=\phi+\Delta\phi~?$$

Answer 1

1. La suposición en primer teorema de Noether es que existe una familia de 1 parámetro$^1$ de transformaciones de campos y espacio-tiempo (con parámetro $\epsilon\equiv\alpha\in\mathbb{R}$).

2. Queremos estudiar la correspondiente familia de 1 parámetro de funcionales de acción $S(\epsilon)$.

3. La transformación de 1 parámetro es llamada por definición una cuasisimetría (QS) si $$ \left. \frac{dS(\epsilon)}{d\epsilon}\right|_{\epsilon=0} ~=~\text{integral de contorno}. \tag{QS}$$

4. Aunque el parámetro de 1 $\epsilon$ no es finalmente necesario en la formulación de la ley de conservación final de Noether, es útil en la definición e identificación de una QS.

5. Si uno desea mantener el parámetro de 1 $\epsilon$ dentro o fuera del símbolo $\Delta \phi$ es una elección convencional. Ambas convenciones se utilizan en la literatura.

6. Mencionemos para completitud que en el contexto del segundo teorema de Noether y la simetría de calibre, $\epsilon(x)$ es una función de espacio-tiempo.

7. Incluso dentro del contexto del primer teorema de Noether, a veces el parámetro de 1 $\epsilon$ se promueve a una función $\epsilon(x)$ de espacio-tiempo como un truco.

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$^1$ Esto se puede generalizar a un número finito de parámetros, pero mantengámoslo simple aquí.