Distribución estacionaria - Tiempo de servicio.

Question

Hay en un banc idénticos dos colas y totalmente separados : estos son dos las colas de tipo $M/M/1$. Para cada uno de ellos, las llegadas son separados por exponencial de los tiempos de parámetro $\nu$, el tiempo de servicio son exponenciales de parámetro $\mu$ (suponemos $\nu < \mu$). Todos ramdom variables del sistema son independientes. Cómo muchos de los clientes son en promedio se tiene en el banco en el estado estacionario (stationnary la distribución)?

Pregunta : ¿Cómo puedo encontrar el stationnary de distribución en la consideración de dos colas?

Answer 1

Deje que$Z_i(t)$ sea el número de clientes en el sistema$i$ en el tiempo$t$,$i=1,2$. Luego,$\{(Z_1(t), Z_2(t)):t\geqslant0\}$ es una cadena de Markov de tiempo continuo en el espacio de estado$\mathcal S=\{0,1,2,\ldots\}^2$. Las tasas de transición están dadas por $$ q _ {(i, j), (i ', j')} = \begin{cases} \nu,& (i',j') = (i',j'+1), (i'+1,j'+1) \\ \mu,& (i',j') = (i',j'-1), (i'-1,j'). \end {casos} $$ Esto produce las ecuaciones de balance global \begin{align} 2\nu\pi(0,0) &= \mu(\pi(0,1)+\pi(1,0))\\ (2\nu+\mu)\pi(i,0) &= \nu\pi(i-1,0) + \mu(\pi(i+1,0)+\pi(i,1)),\quad i\geqslant1\\ (2\nu+\mu)\pi(0,j) &= \nu\pi(0,j-1) + \mu(\pi(0,j+1),+\pi(1,j)),\quad j\geqslant1\\ 2(\nu+\mu)\pi(i,j) &= \nu(\pi(i-1,j)+\pi(i,j-1)) + \mu(\pi(i+1,j)+\pi(i,j+1)),\quad i,j\geqslant1. \end {align} The la distribución estacionaria$\pi$ satisface lo anterior junto con$$\sum_{i,j=0}^\infty \pi(i,j)=1. $ $ (completaré esta respuesta más adelante).