Después de haber leído a través de la definición matemática de dotar de un conjunto con una topología debo admitir que todavía estoy luchando para conceptualizar ¿qué tal una construcción matemática. He de leer artículos que hablan sobre una topología en un conjunto como la definición de un concepto de "proximidad" entre los elementos de ese conjunto, sin necesidad de introducir la noción de distancia (métrica). Es lo que se quiere decir con esto que, digamos, por ejemplo, tengo un set $X=\lbrace a,b,c,d\rbrace$, entonces podemos definir una topología de este conjunto $\tau = \lbrace \emptyset ,\lbrace a\rbrace, \lbrace a,b\rbrace, \lbrace a,b,c\rbrace, \lbrace a,b,c,d\rbrace\rbrace$. Ahora, como $\lbrace a\rbrace\cup\lbrace a,b\rbrace = \lbrace a,b\rbrace$$\lbrace a\rbrace\cup\lbrace a,b\rbrace\cup\lbrace a,b,c\rbrace = \lbrace a,b,c\rbrace$, sería correcto decir que el $a$ está "más cerca" a $b$ que $c$ $b$ está contenida dentro de un pequeño barrio de $a$? Es esto lo que también significó que cuando la gente habla de dos objetos que son topológicamente equivalentes, ya que, aunque parezcan muy diferentes, las relaciones entre los puntos siguen siendo los mismos, es decir, $b$ es todavía "más cercana" a$a$$c$, incluso a pesar de que puede haber un gran número de diferentes puntos que se suman a los barrios de cada uno de ellos en algunas continua deformación?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Una topología de no codificar la idea de "cercanía" entre los puntos de la misma manera una métrica. En su lugar, se nos dice que cuando un punto está 'cerca de' a un conjunto.
Si nos limitamos a los espacios de Hausdorff de la simplicidad, entonces dos puntos son los mismos o son diferentes puntos, y no hay topológica de la distinción entre dos puntos a una distancia de $1$ y dos puntos a una distancia de $2$. Sin embargo, sí tiene sentido decir que el punto de $0$ 'cerca' para el intervalo abierto $(0,1)$ - no está contenida en ese intervalo, pero hay puntos en $(0,1)$ que ser arbitrariamente cerca de $0$.
Si $X$ es un espacio topológico, $x\in X$ $S\subset X$ es cualquier subconjunto, podemos decir $x$ está cerca de a $S$ si $x$ está contenida en el cierre de $S$ - la intersección de todos los conjuntos cerrados que contienen a $S$. Por ejemplo, el cierre de $(0,1)$$\mathbb R$$[0,1]$, que contiene $0$, por lo que podemos decir que el $0$ está cerca de a $(0,1)$.
$\DeclareMathOperator{\cl}{cl}$
Incluso podemos obtener una definición alternativa de una topología de esta manera. Dado un conjunto $X$, un cierre de operador en $X$ es una función de $\cl\colon\mathcal P(X)\to\mathcal P(X)$ tal forma que:
- $\cl(\emptyset)=\emptyset$
- Para todos $A\subset X$, $A\subseteq \cl(A)$
- Para todos $A,B\subset X$, $\cl(A\cup B)=\cl(A)\cup\cl(B)$
- Para todos $A\subset X$, $\cl(\cl(A))=\cl(A)$
Creo que de $\cl$ como la función que toma un subconjunto $A\subset X$ y devuelve el conjunto de puntos de $X$ que son cerca de a $A$. Entonces los axiomas puede ser enunciada como:
- No hay un punto cerca de a es el conjunto vacío.
- Cada punto de $A$ está cerca de a $A$.
- Los puntos de $X$ que son cerca de a $A\cup B$ son los puntos que están cerca de a $A$ o a $B$.
- Si $x$ es cerca a el conjunto de puntos que están cerca de a$A$, $x$ está cerca de a $A$.
Dado un cierre operador $\cl$, podemos definir una topología en $X$ por ajuste cerrado de los conjuntos los conjuntos de $A\subset X$ tal que $\cl(A)=A$. En particular, por el axioma (4), $\cl(A)$ es siempre un conjunto cerrado para cualquier $A\subset X$.
Ejercicio: comprobar que la familia $\mathcal K$ de los subconjuntos $A\subset X$ satisfacción $\cl(A)=A$ es cerrado bajo intersecciones finitas y los sindicatos; es decir, es la familia de conjuntos cerrados para una topología en $X$.
Por el contrario, dado un espacio topológico $X$, podemos definir a la $\cl$ a ser el habitual cierre de operador en $X$; es decir,
$$ \cl(A)=(\textrm{intersección de todos los conjuntos cerrados que contienen }) $$
Ejercicio: Comprobar que el $\cl$ satisface los axiomas de un cierre de operador de arriba.
El tercer ejercicio debe convencer de que la definición por los cierres nos da una definición alternativa de un espacio topológico:
Ejercicio: Vamos a $(X,\tau)$ ser un espacio topológico, y deje $\cl$ será el habitual cierre de operador, según se define inmediatamente anterior. Mostrar que la familia $\mathcal K$ inducida por $\cl$ es precisamente la familia de conjuntos cerrados de $X$.
Por el contrario, vamos a $(X,\tilde{\cl})$ ser un conjunto junto con un cierre de operador $\tilde{\cl}$, y deje $\mathcal K$ ser inducida por la familia de conjuntos cerrados. Definir una topología $\tau$$X$$\tau = \{X\setminus L\colon L\in\mathcal K\}$. Muestran que el habitual cierre de operador en $(X,\tau)$ coincide con $\tilde{\cl}$.
Extensión: Recordemos que una función $f\colon X\to Y$ entre espacios topológicos $(X,\tau),(Y,\sigma)$ se llama continua si $f^{-1}(U)$ está abierto en $X$ siempre $U$ está abierto en $Y$ (si te gusta, $f^{-1}(U)\in\tau$ todos los $U\in\sigma$). Dar una definición de un mapa continuo en términos de cierre de los operadores.
La extensión adicional: Estudio ¿qué sucede si omitimos axioma (4) en la definición de un cierre de operador (y tener una charla conmigo para hablar de lo que está descubierto!)
