$\dim_k H^1(X, \Omega_X)$,$X \subset \mathbb{P}^3$ una superficie proyectiva

Question

Es posible calcular el $\dim_k H^1(X, \Omega_X)$ $X \subseteq \mathbb{P}_\mathbb{C}^3$ un suave proyectiva de la superficie de grado $d$, sin el uso de las clases de Chern?

He estado tratando de hacer esto por jugar con el largo exacto de las secuencias en la cohomology asociada a la de Euler de la secuencia y la secuencia conormal $$0 \to \mathcal{O}_X(-d) \to i^\ast\Omega_{\mathbb{P}^3} \to \Omega_X \to 0$$ para $i: X \hookrightarrow \mathbb{P}^3$. Yo no entiendo muy bien las clases de Chern muy bien. Principalmente supongo que quiero saber si necesito resolver este problema.

(Esta es la tarea: se me asignó para calcular la Hodge diamante de un complejo proyectiva de la superficie, y tengo la otra Hodge números).

Answer 1

Si usted sabe el resto de Hodge números, es suficiente para el cálculo de la característica de Euler. Usted puede calcular mediante un leve generalización de Riemann-Hurwitz (que por desgracia es un poco molesto para el estado y que no sé cómo probar rápidamente) y buscar en una adecuada proyección.

Edit: Algunos detalles. Recordar que todos los proyectivos hypersurfaces en $\mathbb{P}^3$ del mismo grado son diffeomorphic. Por lo tanto, es suficiente para el cálculo de la característica de Euler de la hipersuperficie de Fermat $X^d + Y^d + Z^d + W^d = 0$. Proyecto en las dos primeras coordenadas (usted necesita para eliminar algunos puntos para que esto sea bien definido, pero esto tiene un efecto predecible sobre la característica de Euler; aquí y posiblemente en otros puntos de este argumento estoy secretamente con el hecho de que la característica de Euler y de forma compacta compatible característica de Euler de acuerdo para complejo de variedades). Esto nos da un mapa de a $\mathbb{P}^1$ con el genérico de fibra de curvas de la forma $(1 + \lambda) X^d + Z^d + W^d = 0$ menos $d$ puntos, cuya característica de Euler puede calcular el género-grado de la fórmula. En $d$ $(X : Y) = (1 : \zeta_d^i)$ hay fibras especiales, y como he dicho anteriormente, un leve generalización de Riemann-Hurwitz te ayudará a lidiar con estos (corte de material y pegamento de nuevo juntos de manera apropiada). El final de Euler característica que se obtiene debe ser

$$\chi = d^3 - 4d^2 + 6d.$$