Demostrar que el recíproco de un irracional es irracional

Question

La pregunta en la que estoy trabajando es:

Demuestra que si x es irracional, entonces 1/x es irracional.

Mi prueba difiere de la que aparece en la clave de respuestas, pero sigo pensando que la mía es válida. ¿Podría alguien revisar mi prueba para ver si es correcta?

Prueba por contraposición: Si $1/x$ es racional, entonces x es un número racional.

Suponiendo que $x \ne 0$ entonces $1/x$ es, por definición, un número racional; tomando el recíproco de éste, x será algún número, distinto de cero, que pueda escribirse como $x/1$ que es un número racional por definición.

Como hemos demostrado que el contrapositivo es verdadero, entonces la afirmación original debe ser verdadera.

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EDIT: He encontrado esta solución en Internet.

Prueba: Demostramos el contrapositivo: Si 1=x es racional, entonces x es racional. Entonces supongamos que 1=x es racional. Entonces existen enteros p; q, con q = 0, tales que 1 6 =x = p=q. Entonces x = q=p es claramente racional, a menos que p = 0. Sin embargo, no puede darse el caso de que p = 0, porque si p = 0, entonces 1=x = p=q = 0. Pero 1=x nunca es cero.

Mi pregunta es, ¿qué sentido tiene mencionar el caso que $p=0$ . ¿No es seguro asumir que, una vez que se llega al punto en que se toma el recíproco, $p$ no puede ser igual a cero??

Answer 1

La gran laguna en tu argumento es que has dicho $x/1$ es un número racional "por definición". La definición dice que es un número entero sobre otro número entero. No se puede concluir $x$ es un número entero, por lo que $x/1$ no se ha demostrado que sea un número entero sobre y entero.

Si $1/x$ es racional, entonces $1/x = m/n$ donde $m$ y $n$ son números enteros. De ello se desprende que $x=n/m$ . Desde $m$ y $n$ son enteros, esto es racional.

Answer 2

Sí, eso debería bastar, aunque yo preferiría algo como para $x\neq 0$ $$\frac{1}{x}=\frac{p}{q} \iff x= \frac{q}{p}$$ Edición: Debería mencionar primero que $x$ es racional

Answer 3

Por contradicción Supongamos que $\frac {1}{x}$ es racional, es decir $\frac {1}{x}$ = $\frac {p}{q}$ ( $q \neq 0$ ) y más allá $p \neq 0$ desde $x \neq 0$ esto implica que $x= \frac{q}{p}$ ( $p\neq 0$ ) es racional. Esta es la contradicción con nuestra suposición de que $\frac{1}{x}$ es racional.