La pregunta en la que estoy trabajando es:
Demuestra que si x es irracional, entonces 1/x es irracional.
Mi prueba difiere de la que aparece en la clave de respuestas, pero sigo pensando que la mía es válida. ¿Podría alguien revisar mi prueba para ver si es correcta?
Prueba por contraposición: Si $1/x$ es racional, entonces x es un número racional.
Suponiendo que $x \ne 0$ entonces $1/x$ es, por definición, un número racional; tomando el recíproco de éste, x será algún número, distinto de cero, que pueda escribirse como $x/1$ que es un número racional por definición.
Como hemos demostrado que el contrapositivo es verdadero, entonces la afirmación original debe ser verdadera.
EDIT: He encontrado esta solución en Internet.
Prueba: Demostramos el contrapositivo: Si 1=x es racional, entonces x es racional. Entonces supongamos que 1=x es racional. Entonces existen enteros p; q, con q = 0, tales que 1 6 =x = p=q. Entonces x = q=p es claramente racional, a menos que p = 0. Sin embargo, no puede darse el caso de que p = 0, porque si p = 0, entonces 1=x = p=q = 0. Pero 1=x nunca es cero.
Mi pregunta es, ¿qué sentido tiene mencionar el caso que $p=0$ . ¿No es seguro asumir que, una vez que se llega al punto en que se toma el recíproco, $p$ no puede ser igual a cero??
