La primera vez que voy estado de la cuestión:
Deje $f:[0,1] \to [0,1]$ ser una función definida de la siguiente manera: $f(1)=1$, y si $a=0.a_1a_2a_3\ldots$ es la representación decimal de una (que no termina con una cadena de 9), a continuación,$f(a)=0.0a_10a_20a_3\ldots$ . Discutir la continuidad de la $f$$0.392$ .
Avances y observaciones hasta el momento:
Claramente $f:\sum_{i=0}^{\infty}( \frac{a_i}{10^i}) \mapsto \sum_{i=0}^{\infty}( \frac{a_i}{10^{2i}})$ . Tome $a=0.a_1a_2a_3a_4\ldots=0.392$ . Si elijo $x=0.x_1x_2x_3\ldots$ a partir de una lo suficientemente pequeño intervalo en el lado derecho de la $a$, decir $[a,0.3929]$, entonces se puede demostrar que $$|f(x)-f(a)|=f(x)-f(a)=\sum_{i} \frac{x_i-a_i}{10^{2i}} \leq \sum_{i} \frac{x_i-a_i}{10^{i}}=|x-a|$$ ya que para todos $i\in \mathbb{N}$ $a_i \leq x_i$ y por lo tanto $\frac{x_i-a_i}{10^{2i}} \leq \frac{x_i-a_i}{10^{i}}$. Esto demuestra que $\lim_{x\to a+}f(x)=f(a)$.
Los problemas que estoy enfrentando:
No estoy muy seguro sobre el método anterior y no puedo pensar en una mejor. También, por el método anterior, no puedo demostrar la $\lim_{x\to a-}f(x)=f(a)$. Como la pregunta principal que se utiliza la palabra "discutir", no estoy seguro de si realmente pide para probar o refutar la continuidad de $f$$a$.
Mis preguntas son:
1) Es la función de $f$ continua en $a=0.392$?
2) ¿Qué puede decirse acerca de la continuidad de $f$ en cualquier punto arbitrario de $[o,1]$ más que en el particular punto de $a=0.392$?
3) ¿hay alguna manera de ver este mapa gráficamente?
