f satisface la ecuación funcional f (x + y) = f (x) + f (y) y es integrable de Riemann, muestra f (x) = cx

Question

Si$f$ es la integral de Riemann en cada intervalo de longitud finita y$f(x+y)=f(x)+f(y)$ para cada par de números reales$x$ y$y$, muestre que$f(x)=cx$ donde$c=f(1)$.

Soy capaz de probar si la función fuera continua. Pero cómo usar la propiedad de integrabilidad para probar lo mismo, especialmente para números irracionales.

Answer 1

Es Riemann integrable en intervalos compactos, por lo tanto continua en algunos$x_0 \in \mathbb{R}$.

Entonces considere$f(y + x_0) - f(x_0)= f(y)$. Tomar$y \to 0$ muestra continuidad en$0$ (desde$f(0) = 0$).

Para arbitrario $s$, tenemos

PS

Esto establece la continuidad global. Usted dice que puede demostrarlo cuando$$\lim_{t \to 0}\left(f(t+s) - f(s)\right) = \lim_{t \to 0}f(t) = 0$ es continuo, por lo que puede completar el resto.

Nota : Sigue siendo cierto si debilitamos la condición a Lebesgue integrable.