Cuando la suma de dos variables de Poisson no es Poisson

Question

Si$X$ y$Y$ son variables aleatorias de Poisson independientes, entonces$X+Y$ es Poisson. También sabemos que la suma de dos variables dependientes de Poisson podría resultar en otra variable de Poisson.

Mi pregunta es: ¿cuál sería el contraejemplo (no la prueba rigurosa que podría existir) que niega la afirmación de que la suma de dos Poissons, independientemente de su dependencia, siempre resultaría en Poisson?

Answer 1

El valor esperado de una variable aleatoria de Poisson es igual a su varianza.

Ahora solo tome dos variables aleatorias de Poisson con parámetros$\lambda_1$ y$\lambda_2$ con covarianza no desaparecida. Entonces su suma no puede ser Poisson ya que el valor esperado de la suma es$\lambda_1+\lambda_2$ pero la varianza de la suma no es igual a$\lambda_1+\lambda_2$.

Answer 2

Si$X\sim \mathcal{P}(\lambda)$, entonces$$\Bbb P(X+X=1)=0$ $ Por lo tanto,$X+X$ no sigue una distribución de Poisson.