¿Es$\int_{-1}^1 \frac{dx}{\sqrt{x^2 - 1}} $ divergente?

Question

Me gustaría saber si la siguiente integral es divergente:

$$\int_{-1}^1 \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \pi $$

Wolfram alpha devuelve un número finito de respuesta de $\pi$. Parece que debería tener polos en $x=-1,1$. Puede explicar?

El antiderviative es $\int dx \,(1-x^2)^{-1/2} = \sin^{-1} x$ pero quiero saber por qué la divergencia desaparece.

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Edit: Una versión anterior tenía este:

$$\int_{-1}^1 \frac{dx}{x^2 - 1} $$

Ciertamente tiene polos en ambos extremos. Tal vez podemos utilizar la fracción parcial de la descomposición:

$$ \frac{2}{x^2 -1} = \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1} $$

Answer 1

PS

PS

Sin embargo,$$\int_{-1}^1 \frac{dx}{x^2 - 1}=\int_{-1}^1 \left(\frac{1}{2 x - 2}- \frac{1}{2 x + 2}\right) \, dx$ no está definido para$$\int_{-1}^1\frac{1}{x + 1}=[\ln(x+1)]_{-1}^1.$ y$\ln(x+1)$.

Por lo tanto,$x=-1$ no está definido.

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PS

Esto es bien conocido porque la derivada de$\displaystyle\lim_{x\rightarrow-1}\ln(x+1)=-\infty$ es$\int_{-1}^1 \frac{dx}{x^2 - 1}$

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PS

Esto es bien conocido porque la derivada de$$\int_{-1}^1 \frac{dx}{\sqrt{x^2 - 1}}=[\operatorname{acosh}(x)]_{-1}^1=-i\pi$ es$\operatorname{acosh}(x)$

Answer 2

Sugerencia: observe que, debido a la paridad del integrando, nuestra expresión se convierte en$I=2\displaystyle\int_0^1\dfrac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$.

Ahora deja $x=1-t$. Nuestra integral se convierte en$I=2\displaystyle\int_0^1\dfrac{dt}{\sqrt{t~(2-t)}}$, cuya convergencia es la misma.

como la de$J=\displaystyle\int_0^1\dfrac{du}{\sqrt u}$, ya que el término$\dfrac1{\sqrt{2-t}}$ no causa problemas en$[0,1]$.

Answer 3

Queremos $$\lim_{(\delta,\epsilon)\to(0^+,0^+)}\int_{-1+\delta}^{1-\epsilon} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx.$$ Este es $$\lim_{(\delta,\epsilon)\to(0^+,0^+)}\left(\arcsin(1-\epsilon)-\arcsin(-1+\delta)\right).$$ Pero $$\lim_{\epsilon\to 0^+}\arcsin(1-\epsilon)=\frac{\pi}{2}\quad\text{and}\quad \lim_{\delta\to 0^+}\arcsin(-1+\delta)=-\frac{\pi}{2}.$$

Nota: Si sólo estamos interesados en la existencia (convergencia), es conveniente descomponer la integral en dos partes, con el fin de tener un elemento de una "maldad" en un momento. Nos muestran, por ejemplo, que $$\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx\tag{1}$$ existe. Tenga en cuenta que en nuestro intervalo la función es positiva y les de o igual a $\frac{1}{\sqrt{1-x}}$, ya que el $1+x\ge 1$. Si podemos demostrar que $$\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x}}\,dx\tag{2}$$ existe, entonces, por Comparación lo hace la integral (1). Para mostrar que la integral (2) existe, integrar $\frac{1}{\sqrt{1-x}}$ explícitamente de$0$$1-\epsilon$, y tomar el límite cuando $\epsilon\to 0$ desde la derecha.

O bien, tomar la "maldad" a $0$ (mi preferencia) haciendo el cambio de variable $1-x=t$, y se refieren a la norma el hecho de que $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{t}}\,dt$ existe.