un problema sobre la convergencia en el espacio$L^{P}$

Question

Necesito un pequeño consejo para resolver este problema, por favor.

Problema: deje que$(f_{n})_{n} $ sea una secuencia acotada en$ L^{3}(\mathbb{R}), $ tal que$ f_{n}\to f $ en$ L^{\frac{3}{2}}(\mathbb{R}). $ demuestre que$ f_{n}\to f $ en$ L^{2}(\mathbb{R}). $

Answer 1

Debido a la desigualdad del titular:$$\int|f||g|dx\leq\left(\int|f|^pdx\right)^{1/p}\left(\int|g|^qdx\right)^{1/q}$ $ Entonces, si$p= 3$ y$q= \frac{3}{2}$, obtenemos$$\int|f_n-f||f_n-f|dx\leq\left(\int|f_n-f|^{3}dx\right)^{1/3}\left(\int|f_n-f|^{3/2}dx\right)^{2/3}.$ $, ya que$f_n$ está delimitado en$L^3(\mathbb{R})$,$\Vert f_n-f\Vert_{L^3(\mathbb{R})}(\leq\Vert f_n\Vert+\Vert f\Vert)$ también está delimitado. Mientras tanto,$f_n\to f$ en$L^{3/2}(\mathbb{R})$, así que$$\left(\int|f_n-f|^{3/2}\right)^{2/3}dx\to0 \quad as \quad n\to\infty$ $ En total, veremos$$\int|f_n-f||f_n-f|dx\to0 \quad as \quad n\to\infty$ $

PS Gracias a @zhw.

ya que$f_n\to f$ en$L^{3/2}(\mathbb{R})$, entonces tenemos$f_n\xrightarrow{m} f$ en$\mathbb{R}$. Según el teorema de Riesz, hay una subsecuencia de$\{f_n\}_n$, denominada$\{f_{n_k}\}_k$, que converge a$f$ en casi todas partes en$\mathbb{R}$.

Debido al lema de Fatou$$\int|f|^3dx=\int \varliminf|f_{n_k}|^3dx\leq \varliminf\int|f_{n_k}|^3dx<\infty$ $