PDE: Problema de ecuación de calor

Question

Estoy probando este PDE: $$u_t = u_{xx} + g(x);\quad x\in[0,\pi]$$ Con condiciones de contorno: $$u_x (0,t)=u_x(\pi,t)=0$$ Y la condición inicial: $$u(x,0)=f(x)$$ Creo que la separación de variables proponiendo un u(x,t)= X(x)T(t) podría ser un buen enfoque pero: $$Let\quad u(x,t)=X(x)T(t)$$ $$\Rightarrow X(x)T'(t)=X''(x)T(t)+g(x)$$ Luego al intentar separar me sale: $$\frac {T'(t)}{T(t)}=\frac {X''(x)}{X(x)}+ \frac {g(x)}{X(x)T(t)}$$ No sé cómo hacer que la última función sólo dependa de una variable. ¿Alguna idea o estoy tomando el camino equivocado?

Answer 1

Si $u$ es una solución del problema dado, entonces $$ v(x,t)=u(x,t)+\int_{0}^{x}\int_{0}^{x'}g(x'')dx''dx'-\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}g(y)dy\, (t+x^{2}/2). $$ es una solución de \begin{align} v_{t} &= u_{t}-\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}g(y)dy=u_{xx}+g-\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}g(y)dy=v_{xx} \\ v_{x}(0,t) &= u_{x}(0,t) = 0, \\ v_{x}(\pi,t) &= u_{x}(\pi,t)+\int_{0}^{\pi}g(x'')dx''-\frac{\pi}{\pi}\int_{0}^{\pi}g(y)dy = u_{x}(\pi,t)=0. \\ v(x,0) &= u(x,0)+\int_{0}^{x}\int_{0}^{x'}g(x'')dx''dx'-\frac{x^{2}}{2\pi}\int_{0}^{\pi}g(y)dy \end{align} Así, el problema no homogéneo se reduce al problema homogéneo equivalente \begin{align} v_{t} &= v_{xx}, \\ v_{x}(0,t) &= 0,\hspace{5mm} v_{x}(\pi,t) = 0,\\ v(x,0) &= f(x)+\int_{0}^{x}\int_{0}^{x'}g(x'')dx''dx'-\frac{x^{2}}{2\pi}\int_{0}^{\pi}g(y)dy. \end{align}

Answer 2

La respuesta corta es que no se puede asumir, en general, la separación de variables en un problema no homogéneo. Dado que las condiciones de contorno son homogéneas, resuelve el alternativa problema $\theta_t = \theta_{xx}$ con las mismas condiciones de contorno (sin importar la condición inicial) y luego expandirse:

$$ u(x,t) = \sum_n T_n(t) X_n(x), $$ donde $X_n(x)$ son las funciones propias del problema homogéneo (creo que son $X_n(x) = \cos{n x}$ ). Dado que las funciones $X_n$ forman una base completa en $0 \leq x \leq \pi$ cualquier función suave puede ser aproximada/representada según la serie anterior.

Introduce la serie en la EDP original y utiliza las propiedades de ortogonalidad de $X_n$ para encontrar los coeficientes $T_n(t)$ que satisfará una ecuación diferencial de primer orden. La condición inicial para $T$ puede extraerse de la condición inicial de $u$ utilizando, de nuevo, la ortogonalidad.

Creo que a esto se le llama a menudo el "Fredholm's alternativa .

Espero que esto ayude.