Operador no limitado, ¿cuándo es denso?

Question

Dejemos que $E = L^p(0, 1)$ con $1 \le p < \infty$ . Consideremos el operador no limitado $A: D(A) \subset E \to E$ definido por $$D(A) = \{u \in W^{1, p}(0, 1),\text{ }u(0) = 0\} \text{ and }Au = u'.$$ Mis dos preguntas son las siguientes.

1. ¿Qué es? $A^*$ ¿Aquí?
2. Por lo que $1 \le p < \infty$ es $D(A^*)$ denso en $E^* = L^{p'}(0, 1)$ ?

Answer 1

Para $1 < p < \infty$ , $L^{p}(0,1)^{\star}=L^{p/(p-1)}(0,1)$ . Y $L^{1}(0,1)^{\star}=L^{\infty}(0,1)$ . Por lo tanto, el dominio de $A_p^{\star}$ es el conjunto de funcionales $\Phi_{g} \in L^{p}(0,1)^{\star}$ tal que $$ \langle A_p f, \Phi_{g}\rangle = \langle f,A_p^\star\Phi_g\rangle, \;\;\; f \in \mathcal{D}(A_p). $$ Eso es, $\Phi_g \in \mathcal{D}(A_p^{\star})$ si existe $h\in L^p(0,1)^{\star}$ tal que $$ \int_{0}^{1}f'gdx=\int_{0}^{1}fhdx,\;\;\; f\in \mathcal{D}(A_p). $$ Porque $\mathcal{D}(A_p)$ incluya funciones de prueba compactas, entonces es necesario que $g$ sea absolutamente continua con $g'=-h\in L^p(0,1)^{\star}$ . Por lo tanto, $$ \mathcal{D}(A_p^{\star})= \{ \Phi_g : g \in (L^{p})^{\star} \mbox{ is abs. cont. with } g'\in (L^{p})^{\star}\},\\ A_p^{\star}\Phi_g = -\Phi_{g'}, \\ g(1)=0. $$ Las funciones absolutamente continuas son densas en $L^p(0,1)$ para $1 \le p < \infty$ pero no para $p=\infty$ porque el cierre de las funciones continuas en $L^{\infty}(0,1)$ consiste en funciones continuas.