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Estados Propios de Operadores de Escalera

Según la Introducción a la Mecánica Cuántica de Griffiths (página 147), si una función $f$ es una autofunción de $L^{2}$, entonces $L_{-}f$ también es una autofunción de $L^{2}$.

¿Es $f$ también una autofunción de $L_{-}$? En general, ¿cuáles son las autofunciones de $L_{-}$ y $L_{+}$?

7voto

sid Puntos 41

¿$ f $ también es una autofunción de $ L_- $?

En general, no. Introducimos la notación $$ L^2 |\ell;m\rangle=\ell(\ell+1)|\ell;m\rangle \tag{1} $$ y $$ L_z|\ell;m\rangle=m |\ell;m\rangle \tag{2} $$

En general$^1$, $$ L_\pm|\ell;m\rangle=\sqrt{\ell(\ell+1)-m(m\pm1)}\;|\ell;m\pm 1\rangle \tag{3} $$ lo que significa que $|\ell;m\rangle$ no es un autovector de $L_\pm$, porque al actuar con $L_\pm$ en $|\ell;m\rangle$, no se obtiene un múltiplo escalar de $|\ell;m\rangle$, sino un vector diferente.

En el caso específico $|\ell;\ell\rangle$ (es decir, cuando $m=\ell$), tenemos $$ L_+|\ell;\ell\rangle=0 \tag{4} $$ lo que significa que $|\ell;\ell\rangle$ es un autovector de $L_+$, con valor propio 0. Podemos decir lo mismo acerca de $L_-$: $|\ell;-\ell\rangle$ es un autovector de $L_-$, con valor propio $0$.

En general, ¿cuáles son las autofunciones de $L_\pm$?

Para empezar, $L_\pm$ no son hermitianos, por lo que no hay garantía de que sean diagonalizables, y si lo son, los autovalores no serán reales (es decir, $L_\pm$ no es un observable). En el párrafo anterior, argumentamos que $|\ell;\ell\rangle$ es un autovector de $L_+$, por lo que al menos existe un autovector. Ahora vamos a demostrar que $|\ell;\ell\rangle$ es el único autovector de $L_+$.

Supongamos que existen un conjunto de vectores $|\alpha;\ell\rangle$ tales que $$ L_+|\alpha;\ell\rangle=\alpha|\alpha;\ell\rangle \tag{5} $$ y $$ L^2|\alpha;\ell\rangle=\ell(\ell+1)|\alpha;\ell\rangle \tag{6} $$ (nótese que podemos hacer esto porque $[L_+,L^2]=0$).

Como el conjunto $\{|\ell;m\rangle\}$ es una base, podemos escribir $|\alpha;\ell\rangle$ como una combinación lineal de estos vectores: $$ |\alpha;\ell\rangle=\sum_{m=-\ell}^{+\ell} c^m_\ell|\ell;m\rangle \tag{7} $$

Es bastante fácil verificar que $(5)$ solo se puede cumplir si todos los coeficientes $c^m_\ell=0$ excepto por $c^\ell_\ell$, de forma que $$ |\alpha;\ell\rangle=|\ell;\ell\rangle \tag{8} $$ se deduce fácilmente.

En el caso del oscilador armónico simple, donde el álgebra es similar, la situación es diferente: allí, tenemos una expresión similar a $(7)$, pero donde la suma es sobre $n=0,1,\cdots,\infty$. En este caso, la conclusión es diferente, porque hay un número infinito de términos en la suma. Ahora, es fácil demostrar que existen un conjunto de coeficientes no nulos $c_n$, lo que significa que existen autovectores no nulos de los operadores de creación y destrucción. Estos se llaman estados coherentes, y son bastante interesantes.


$^1$ La demostración de esta expresión es bastante estándar y se puede encontrar en línea y en cualquier libro de Mecánica Cuántica. Voy a reproducer la demostración aquí para hacer la publicación más autocontenido.

El álgebra de los operadores del momento angular es $$ [L_x,L_y]=iL_z\qquad [L_y,L_z]=iL_x \qquad [L_z,L_x]=iL_y \tag{9} $$

Si definimos $L_\pm=L_x\pm i L_y$, entonces es fácil ver que $(9)$ es equivalente a $$ [L_z,L_\pm]=\pm L_\pm \tag{10} $$

Por ejemplo, $[L_z,L_+]=[L_z,L_x+iL_y]=[L_z,L_x]+i[L_z,Ly]$, que en virtud de $(9)$ es igual a $=iL_y+L_x=L_+$.

Con esto, podemos demostrar $(3)$. Sea $$ |\varphi\rangle\equiv L_+|\ell;m\rangle \tag{11} $$ por definición. Si actuamos a la izquierda con $L_z$, obtenemos $$ L_z|\varphi\rangle=L_z L_+|\ell;m\rangle \tag{12} $$

Luego, escribimos $L_zL_+=L_+L_z+[L_z,L_+]$ (esto debería ser obviamente cierto: simplemente expande el conmutador y verifica que funcione). Dado que sabemos que $[L_z,L_+]=L_+$, obtenemos $$ (12)=(L_+ L_z+L_+)|\ell;m\rangle \tag{13} $$ que, usando $L_z|\ell;m\rangle=m|\ell;m\rangle$, es igual a $$ (12)=(1+m)L_+|\ell;m\rangle \tag{14} $$

Finalmente, notemos que $L_+|\ell;m\rangle$ es, por definición, $|\varphi\rangle$, lo que significa que $$ L_z|\varphi\rangle=(m+1)|\varphi\rangle \tag{15} $$

¡Esta relación es muy importante! Intenta pensar en ella por un minuto. Mírala detenidamente. Esta relación significa que $|\varphi\rangle$ es un autovector de $L_z$, y su valor propio es $m+1$. Por lo tanto, debemos tener $|\varphi\rangle\propto |\ell;m+1\rangle$, ya que $|\ell;m+1\rangle$ está definido como el autovector de $L_z$ con valor propio $m+1$.

Por lo tanto, podemos escribir $$ L_+|\ell;m\rangle=c|\ell;m+1\rangle \tag{16} $$ donde $c$ es una constante de normalización, que es fácil de encontrar, porque sabemos que $L_- L_+=L^2-L_z^2-L_z$: $$ |c|^2=\langle\ell;m|L_-L_+|\ell;m\rangle=\langle\ell;m|L^2-L_z^2-L_z|\ell;m\rangle=\ell(\ell+1)-m^2-m \tag{17} $$ donde utilicé $L^2|\ell;m\rangle=\ell(\ell+1)|\ell;m\rangle$ y $L_z|\ell;m\rangle=m|\ell;m\rangle. Esto completa la prueba de $(3)$.

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¡Gracias por la respuesta detallada! ¿Podrías darme un poco más de información sobre cómo derivar (3) anteriormente, o una referencia para consultar?

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He esbozado la prueba en el post. Si algún paso no está claro, por favor dímelo e intentaré explicarlo mejor. En cuanto a una referencia, siempre sugiero el gran libro de Cohen-Tannoudji: Lo encontré como la introducción perfecta a la Mecánica Cuántica. Si deseas alguna referencia en línea para la prueba de $(3)$, tal vez te guste esta página. Simplemente haz clic en next en la parte inferior para navegar. Revisé varias páginas web y creo que una en particular debería estar bien y clara. De todos modos, ¡si tienes más preguntas, no dudes en preguntar!

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¡Gracias! Estoy tomando una clase de Química Cuántica y el libro/clase no explican los conceptos matemáticos, ni hacen demostraciones rigurosas como me gustaría. Definitivamente miraré las referencias que has mencionado.

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CStarAlgebra Puntos 625

Esto no es demasiado difícil de entender, construye las matrices L+/- correspondientes a un cierto valor de l, y luego puedes encontrar fácilmente sus eigenvectores usando solo álgebra matricial.

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En realidad, los armónicos esféricos son autofunciones del cuadrado del momento angular y los operadores de escalera elevan o disminuyen el valor de m para que pueda conservar su carácter de autofunción.

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No estoy seguro a qué parte de mi comentario te refieres, los armónicos esféricos no son autofunciones de los operadores de elevación y descenso.

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jmenezes Puntos 106

En realidad, cuando se definen los operadores de escalera $L_+$ y $L_-$ como

$$ \begin{aligned} L_+&= L_x+iL_y\\ L_-&= L_x-iL_y \end{aligned} $$ y $L^2$ conmuta con $L_x$ y $L_y.

Por lo tanto, el conmutador de $L^2$ con $L_-$ y $L_+$ es cero.

$$ L_+ Y(l,m)=\hbar \sqrt{l(l+1)-m(m+1)}Y(l,m+1) $$ y similarmente para $L_-$, donde $Y$ son los armónicos esféricos - un conjunto completo de funciones angulares que son autofunciones de $L^2$ y $L_z$ y otros operadores que conmutan con $L^2$ y $L_z.

$$[L_+, L_z] = - \hbar L_+$

y similarmente para $L_-$

$L_+$ aumenta el valor de $m$ de $Y$ por una unidad de $\hbar$ y $L_-$ disminuye el valor de $m$ de $Y$ en una unidad.

El índice $m$ puede tomar valores de $-l$ a $+l$ con un intervalo de 1, entonces

$$L_+Y(l,l) = 0$$ y $$L_- Y(l,-l) =0$$

para $l = 0,1,2,3,\dots$; $m$ puede tomar valores de $-l,-l+1,\dots,0,1,2,\dots,l-1,+l$

Creo que lo anterior puede aclarar la imagen de las autofunciones.

Ref. http://quantummechanics.ucsd.edu/ph130a/130_notes/node209.html

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