El grupo de unidades de un campo finito es cíclico. ¿Es cierto que el grupo de unidades de un anillo finito también es cíclico? Si no es así, ¿en qué punto la estructura del anillo nos impide obtener el resultado que es cierto para los campos?
Una rápida búsqueda en Google encuentra el documento Anillos finitos con un grupo multiplicativo cíclico de unidades de Robert W. Gilmer, Jr. que resuelve la cuestión de la siguiente manera:
Esto se complementa demostrando que todo anillo finito conmutativo es una suma directa de anillos primarios y que su grupo de unidades es el producto directo del grupo de unidades de los anillos primarios, y es cíclico si cada parte es cíclica y tienen órdenes coprimos.
@Gerry, estos no son principal anillos. Por favor, vea la primera página completa en el enlace que he dado.
@lhf: Gracias por tu respuesta. Estoy intentando ver, dónde se rompe la demostración del teorema para campos finitos ("el subgrupo multiplicativo es cíclico"), si levantamos la condición de que tenemos un campo y en su lugar tenemos un anillo. Véase, por ejemplo, el Teorema 1.9, p. 177 en el Álgebra de Lang. Un esquema de la prueba es el siguiente: consideramos la descomposición del grupo de unidades en la suma directa de sus p-subgrupos y mostramos que cada p-subgrupo es cíclico...
Dado cualquier anillo $A$ con un grupo no trivial de unidades $A^\times$ el anillo $A\times A$ tendrá un grupo no cíclico de unidades.
Esto se debe a que para los anillos $A$ y $B$ uno tiene $(A\times B)^\times=A^\times\times B^\times$ y si $G$ es un grupo no trivial el grupo $G\times G$ nunca es cíclico.
En el caso de un campo $K$ cualquier subgrupo finito del grupo multiplicativo es efectivamente cíclico. El teorema de Ruffini sólo es válido para campos (y para dominios). Así, si $A^\times$ es finito, la ecuación
$$x^n-1=0$$
se mantiene para $n=|A^\times|$ y $x\in A$ . Sin embargo, como $(x-a)(x-b)=0$ no implica que $x=a$ o $x=b$ ya, se complica en el caso de los anillos no integrales.
Para $n$ un número natural, el anillo ${\mathbb Z}/n{\mathbb Z}$ tiene un grupo multiplicativo cíclico para $n=p^k$ o $n=2p^k$ pero, por ejemplo, en el caso de que $n$ tiene al menos dos divisores primos Impares diferentes, entonces se convierte en no cíclico, simplemente porque $$U({\mathbb Z}/p^{k}{\mathbb Z})={\mathbb Z}/p^{k-1}(p-1){\mathbb Z}$$ y por el teorema del resto chino se tiene
$$U({\mathbb Z}/n{\mathbb Z})=\oplus U({\mathbb Z}/p_i^{e_i}{\mathbb Z})=\oplus {\mathbb Z}/p_i^{e_i-1}(p-1){\mathbb Z}.$$
Evidentemente, el m.c.l. de los órdenes del subgrupo de la derecha divide estrictamente el orden del grupo, sólo porque hay al menos dos números pares en la lista.
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