Si una función es positiva en un conjunto de medida mayor que cero, es la integral de Lebesgue de que la función mayor que cero?

Question

Supongamos que tenemos un conjunto de $A \subset \mathbb{R}^n$ tal que $f(x) > 0$$x \in A$$m(A) > 0$.

De lo anterior se sigue que el $\int_A f > 0$?

Obviamente, si hay algún tipo de límite inferior en $f(x)$ en algunas de las no-trivial subconjunto de $A$, entonces hemos terminado, pero es posible que no haya ninguna baja bound? Estoy pensando, como $f(a)$ es un número y, a continuación, el valor de $f$ disminuye muy rápidamente en todas partes en $A$.

Answer 1

Deje $A_n = A \cap \{ f > \frac{1}{n} \}$. A continuación,$A = \cup A_n$. Si cada una de las $A_n$ había medir el $0$, $A$ sí habría medida $0$. De ello se desprende que $m(A_n) > 0$ algunos $n$. Por lo $\int_A f \geq \int_{A_n} f \geq \frac{1}{n} m(A_n) > 0$.