Rudin Teorema 6.10 duda

Question

Esta pregunta es acerca de Riemann integral de Stieltjes:

Aquí está la definición:

Deje $\alpha$ ser un monótonamente creciente de la función en $[a, b]$ (desde $\alpha(a)$ $\alpha(b)$ son finitos, se deduce que el $\alpha$ está delimitada en $[a, b]$). Correspondiente a cada una de las particiones $P$$[a, b]$, podemos escribir $$\Delta \alpha_i = \alpha \left( x_i \right) - \alpha \left( x_{i-1} \right).$$ Está claro que $\Delta \alpha_i \geq 0$. Para cualquier función real $f$ que está delimitada en $[a, b]$ ponemos $$\begin{align} U(P, f, \alpha) &= \sum_{i=1}^n M_i \Delta \alpha_i, \\ L(P, f, \alpha) &= \sum_{i=1}^n m_i \Delta \alpha_i, \end{align}$$ donde $M_i$, $m_i$ tiene el mismo significado que en la Definición 6.1, y definir $$\begin{align} \tag{5} \overline{\int_a^b} f d \alpha = \inf U(P, f, \alpha), \\ \tag{6} \underline{\int_a^b} f d \alpha = \sup L(P, f, \alpha), \\\, \end{align}$$ el $\inf$ $\sup$ nuevo ser tomado todas las particiones. Si los miembros de la izquierda de (5) y (6) son iguales, se denota su valor común por $$\tag{7} \int_a^b f d \alpha$$ o a veces por $$\tag{8} \int_a^b f(x) d \alpha(x).$$ Esta es la de Riemann-Stieltjes integral (o simplemente la integral de Stieltjes) de $f$ con respecto al $\alpha$,$[a, b]$.

Si (7) existe, es decir, si (5) y (6) son iguales, es decir que $f$ es integrable con respecto a $\alpha$, en el sentido de Riemann, y escribir $f \in \mathscr{R}(\alpha)$.

Este es Rudin PMA Th 6.10:

Supongamos $f$ está delimitada en $[a, b]$, $f$ tiene sólo un número finito de puntos de discontinuidad en $[a, b]$, e $\alpha$ es continua en cada punto en que $f$ es discontinuo. A continuación,$f \in \mathscr{R}(\alpha)$.

Prueba: Supongamos $\varepsilon > 0$ ser dado. Poner $M = \sup \left\vert f(x) \right\vert$, vamos a $E$ el conjunto de puntos en el que $f$ es discontinuo. Desde $E$ es finito y $\alpha$ es continua en cada punto de $E$, podemos cubrir la $E$ por un número finito de intervalos disjuntos $\left[ u_j, v_j \right] \subset [a, b]$ tales que la suma de las diferencias correspondientes a $\alpha\left(v_j\right) - \alpha \left( u_j \right)$ es de menos de $\varepsilon$. Además, podemos colocar estos intervalos de tal manera que cada punto de $E \cap (a, b)$ se encuentra en el interior de algunas $\left[ u_j, v_j \right]$.

Eliminar los segmentos $\left( u_j, v_j \right)$$[a, b]$. El conjunto restante $K$ es compacto. Por lo tanto $f$ es uniformemente continua en a $K$, y no existe $\delta > 0$ tal que $\left\vert f(s) - f(t) \right\vert < \varepsilon$ si $s \in K$, $t \in K$, $\left\vert s-t \right\vert < \delta$.

Ahora forman una partición de $P = \left\{ x_0, x_1, \ldots, x_n \right\}$$[a, b]$, de la siguiente manera: Cada una de las $u_j$ se produce en $P$. Cada una de las $v_j$ se produce en $P$. No hay punto de cualquier segmento de $\left( u_j, v_j \right)$ se produce en $P$. Si $x_{i-1}$ no es una de las $u_j$,$\Delta \alpha_i < \delta$.

Tenga en cuenta que $M_i - m_i \leq 2M$ por cada $i$, $M_i - m_i \leq \varepsilon$ si $x_{i-1}$ es uno de los $u_j$. Por lo tanto, como en la prueba del Teorema 6.8, $$U(P, f, \alpha) - L(P, f, \alpha) \leq \left[ \alpha(b) - \alpha(a) \right] \varepsilon + 2M \varepsilon.$$ Desde $\varepsilon$ es arbitrario, Teorema 6.6 muestra que $f \in \mathscr{R}(\alpha)$.

[Código tomado de aquí.]

Mi pregunta es:

Lo que no entiendo es:

1. ¿Por qué tratamos a $u_j$'s de manera diferente?

2. ¿Cómo podemos llegar a $U(P, f, \alpha) - L(P, f, \alpha) \leq \left[ \alpha(b) - \alpha(a) \right] \varepsilon + 2M \varepsilon$ en la última línea?

Answer 1

La partición de $P$ contiene el bien y el mal intervalos de $I_i$. Por el bien de los intervalos que hemos $M_i-m_i\leq\epsilon$. Su contribución a $\Delta_{\rm total}:=U(P,f,\alpha)-L(P,f,\alpha)$ por lo tanto es $\leq \bigl(\alpha(b)-\alpha(a)\bigr)\,\epsilon\>$; aquí Rudin se refiere a la prueba del Teorema 6.8. La suma de los incrementos de $\Delta\alpha_i$ sobre el mal intervalos es $\leq\epsilon$, e $M_i-m_i\leq2M$ para todos estos intervalos. De ello se desprende que la contribución de la mala intervalos de a$\Delta_{\rm total}$$\leq2M\epsilon$.