¿Cuáles son las probabilidades de ganar este juego de bingo?

Question

Voy a explicar el juego muy rápido, se llama Pick 8.

Se obtiene una hoja de papel que contiene 3 filas de 8 casillas. Se rellena cada fila con los números del 1 al 75, en cualquier orden, sin duplicados. La persona que llama al bingo empieza a llamar a los números del bingo.

Si se llena una fila durante los primeros 20 números llamados, se gana el bote, que suele ser de alrededor de \$7000. The first person to win after 20 balls are called wins \$ 500.

Me interesa el premio gordo. Principalmente, ¿cuántas hojas tendría que comprar y rellenar con una combinación de 8 números para asegurar un ~70% de probabilidad de ganar en los primeros 20 números llamados? Cada pliego cuesta \$3, so it's \$ 1 una fila.

Empecé calculando cuántas combinaciones de 8 números hay en un grupo de 75 (donde el orden no importa). Al parecer, eso se llama coeficiente binomial, y da como resultado ~16.800 millones de combinaciones.

Pero no sé por dónde cogerlo: ¿cómo tengo en cuenta que tengo 20 oportunidades de acertar una combinación de 8 números? Si puedo averiguar eso, entonces puedo multiplicar esas probabilidades por 3, y luego multiplicarlas aún más para cubrir el 70% de las combinaciones posibles, para ver cuántas hojas necesitaría comprar.

Answer 1

La probabilidad de ganar depende de la forma de elegir las filas. Para tener una vaga idea de los números puedes mirar lo que sucede si cada fila se llena al azar (esto claramente no es óptimo, por ejemplo incluye la posibilidad de que uses dos filas idénticas).

Para una sola fila, la probabilidad de ganar es la relación entre los sorteos de 20 números de 75 que incluyen los 8 números seleccionados en la fila y el número total de sorteos de 20 números de 75, es decir. $$ p=\frac{75-8 \choose 20-8}{75 \choose 20}= \frac{1}{133\,929}. $$ Si juegas $n$ filas, cada una seleccionada independientemente y al azar, entonces la probabilidad de ganar es $$ 1-(1-p)^n. $$ Si quieres que sea $70~\%$ usted resuelve para $n$ : $$ 1-(1-p)^n=.7 \rightarrow n=161\,246. $$ Esto es claramente un límite superior como una estrategia mejor debe hacer mejor que la selección de filas al azar.

Edición: detalles sobre el cálculo de $p$ . Una vez que haya elegido sus 8 números, el número de sorteos de 20 números de 75 que le harán ganador es el número de formas de elegir sus 8 números exactamente (sólo una forma) y luego elegir los 12 números restantes de los 67 números restantes: $1\times{67\choose12}$ . El número total de formas de elegir 20 números sigue siendo ${75\choose20}$ . La probabilidad es la relación entre los sorteos favorables y el total de sorteos, de ahí la fórmula anterior.

Answer 2

Estoy seguro de que hay una manera más fácil de calcular esto, pero esto es lo que obtuve:

Actualización : Efectivamente, la respuesta de A.G. lo hace de forma fácil. Yo también he encontrado una manera fácil y quizás más intuitiva. Tenemos $75 \choose 8$ formas de elegir $8$ números de $75$ números. De estas formas de elegir hay $20 \choose 8$ formas de tener una elección ganadora del jackpot. Por lo tanto, la probabilidad de un premio mayor con una selección/fila es:

$$\frac{20 \choose 8}{75 \choose 8} = \frac{494}{66160995} \approx 7.467\cdot 10^{-6}$$

También incluyo mi forma original de calcular la probabilidad. Es más complicado y requiere un programa corto para hacer el cálculo, pero creo que el enfoque general puede ser útil para otros problemas de probabilidad, así que lo dejo aquí.

Dejemos que $P_{N,k,m}$ sea la probabilidad de que coincida con su $m$ números cuando $k$ números son llamados, de un posible $N$ números. Para su problema quiere calcular $P_{75,20,8}$

Podemos calcularlo recursivamente. Aquí está cómo:

Digamos que el primer número de la $20$ se llama. ¿Cuáles son las posibilidades? Este número es uno de sus $8$ números o no. Si no lo es, este número sale del sistema y ahora tiene el problema de obtener 8 coincidencias de números, con 19 llamadas, de 74 números. En resumen, quiere calcular $P_{74,19,8}$ . Si, por el contrario, consigue una coincidencia, entonces de nuevo este número sale del sistema pero ahora tiene que coincidir con 7 números, con 19 llamadas, de entre 74 números. En resumen, se trata de $P_{74,19,7}$ .

¿Cuál es la probabilidad de no obtener una coincidencia en la primera llamada? Es $\left(\frac{74}{75}\right)^8$ . Editar : No, esto es incorrecto. Si tenemos 8 números distintos y queremos acertar un número elegido al azar (de 75 posibles) la probabilidad de no la concordancia es $\frac{74}{75}\times\frac{73}{74}\times\dots \times\frac{67}{68} = \frac{67}{75}$ . (Es interesante que haya cometido este error aquí porque más abajo hago esencialmente la misma pregunta -pero desde un ángulo diferente- y esta vez acerté. Dejo estas notas aquí como una oportunidad de aprendizaje). Así que tenemos:

$$P_{75,20,8} = \frac{67}{75} \cdot P_{74,19,8} + \left(1- \frac{67}{75}\right)\cdot P_{74,19,7}$$

De manera más general: $$P_{N,k,m} = \frac{N-m}{N} \cdot P_{N-1,k-1,m} + \left(1- \frac{N-m}{N}\right)\cdot P_{N-1,k-1,m-1}$$

¿Cómo termina la recursión? Consideremos lo que ocurre cuando tenemos el mismo número de llamadas que los números que hemos elegido, es decir, queremos calcular $P_{N,k,k}$ . Esto es simplemente la inversa del coeficiente binomial $N \choose k$ . Es como si pidiéramos "Tengo una combinación específica de $k$ números, ¿cuál es la probabilidad de que éste sea elegido entre $N$ números?".

$$P_{N,k,k} = \frac{1}{N \choose k}$$

Además, podemos calcular directamente $P_{N,k,1}$ . Esto significa que hemos elegido un solo número de los $N$ números y queremos encontrar la probabilidad de coincidir con este número cuando $k$ se llaman diferentes números. La probabilidad de no que coinciden es: $\frac{N-1}{N}\cdot \frac{N-2}{N-1}\cdot \frac{N-3}{N-2}\dots \frac{N-k}{N-k+1} = \frac{N-k}{N}$ . Así:

$$P_{N,k,1} = 1- \frac{N-k}{N}$$

Así que ahora que tenemos nuestras condiciones de finalización de la recursión podemos calcular nuestra probabilidad.

Escribí un breve programa en Python para calcular esto y la respuesta es: $$P_{75,20,8} \approx 7.467\cdot 10^{-6}$$

Así que tienes alrededor de $7$ posibilidades entre un millón de coincidir con una sola fila. Cuántas filas debe jugar para conseguir una $70\%$ ¿probabilidad de ganar? Si eliges las filas de forma aleatoria e independiente, entonces quieres $n$ filas donde: $$1-(1-P_{75,20,8})^n = 0.7 \iff n = 161,246 $$

Esto no es óptimo, porque si eliges al azar tienes la posibilidad de elegir la misma fila más de una vez, pero teniendo en cuenta que hay 16 mil millones de combinaciones de filas posibles, y que necesitas alrededor de $150\,000$ filas, la diferencia entre la estrategia óptima y la elección al azar no será significativa.

Actualización : Las cosas son más complicadas que evitar los duplicados. La respuesta de Bram28 explica cómo. También podemos verlo con un ejemplo extremo: Supongamos que $74$ se llaman números en lugar de $20$ . ¿Cuál sería entonces nuestra estrategia? Podemos elegir una fila al azar y tendrá un $\frac{67}{75}$ probabilidad de ganar. ¿Cuál debería ser nuestra segunda apuesta/fila? Imaginemos que nuestra primera fila no gana. Esto significa que en nuestra $8$ números elegidos hay el único número fuera de la $75$ números que no se llama (recuerde que estamos llamando $74$ números en esta versión del juego). Si mantenemos la mayoría de nuestros $8$ números iguales y cambiamos sólo uno, hay un $7/8$ probabilidad de que nos quedemos con el número "malo" y de nuevo no ganemos. Si, por el contrario, cambiamos todos los números, tenemos la garantía de deshacernos del número "malo" y tenemos la garantía de ganar. Así que la elección marca una gran diferencia en este caso.

¿Qué tal nuestro caso? Parece difícil encontrar una estrategia exacta, pero empecemos nuestro análisis. Supongamos que nuestra primera fila no ganó. ¿Cuál sería la mejor segunda fila a elegir? Consideremos todas las formas en que nuestra primera fila podría no ganar. Podemos tener $0,1,\dots 7$ números que coinciden. ¿Cuál es la probabilidad de cada caso? Antes de dar esta fórmula, considera cualquier fila (no sabemos si es ganadora o no) y queremos encontrar la probabilidad de que exactamente $i$ coincide ( $i=0\dots 8$ ). Para $i=0$ esto es simplemente $\frac{55}{75}\cdot \frac{54}{74}\cdot\frac{53}{73}\dots \frac{48}{68}$ (es decir, la probabilidad de que el primer número no coincida, multiplicada por la probabilidad de que el segundo número no coincida, etc.). ¿Y si tenemos exactamente una coincidencia? Supongamos que la coincidencia es nuestro segundo número (de los ocho que hemos elegido). La probabilidad de que esto ocurra es $\frac{55}{75}\cdot \color{red}{\frac{20}{74}}\cdot\frac{54}{73}\dots \frac{49}{68}$ . ¿Y si el número coincidente fuera el tercero, o cualquier otro número? Habría algún reordenamiento, pero todos los números de los nominadores y denominadores serían los mismos. El resultado sería exactamente el mismo. Sólo tenemos que contar todas las combinaciones en las que podemos tener un número elegido de entre 8. ¿Y si tenemos exactamente dos coincidencias? Digamos que el segundo y el séptimo número. La probabilidad para esto es $\frac{55}{75}\cdot \color{red}{\frac{20}{74}}\cdot\frac{54}{73}\dots \color{red}{\frac{19}{69}}\cdot\frac{50}{68}$ . ¿Y si son otros dos números que coinciden? Observa que los denominadores serán siempre los mismos. Fíjate también en que los nominadores serán los mismos, sólo que dispuestos de forma diferente. El resultado será el mismo, porque estamos multiplicando. De nuevo tenemos que tener en cuenta todas las combinaciones. La fórmula general es:

$$P(\text{matches}=i) = {8\choose i} \times \frac{\overbrace{20\times \dots \times(20-i+1)}^{i\;\text{terms}}\times \overbrace{55\times \dots \times(55-8+i+1)}^{8-i\;\text{terms}}}{75\times \dots \times 68} \\ = {8\choose i} \times \frac{\frac{20!}{(20-i)!}\times \frac{55!}{(55-8+i)!}}{\frac{75!}{(75-8)!}}$$

Tenga en cuenta que para $i=8$ Esta es otra forma de responder a nuestra pregunta original (cuál es la probabilidad de que una fila gane). Ahora vamos a encontrar la fórmula para $i$ coincidencias exactas dado que la fila no es una fila ganadora (es decir, sabemos que las coincidencias son menores que $8$ ). Así que sabemos que un número de nuestro $8$ no coincide. Podemos ignorar con seguridad ese número (no importa dónde esté, ni qué número sea) y convertir el problema en el problema equivalente sin restricciones pero con $7$ números elegidos y un conjunto total de $74$ números. Esta es la fórmula:

$$P(\text{matches}=i| \text{matches}< 8) = {7\choose i} \times \frac{\frac{20!}{(20-i)!}\times \frac{54!}{(54-7+i)!}}{\frac{74!}{(74-7)!}}$$

Estos son los valores aproximados para $i = 0,1,\dots 8$ $$ \begin{array}{c|c|c} \begin{array}{c} \text{Exact number}\\ \text{of matches} \end{array} & \begin{array}{c} \text{Probability for}\\ \text{any row} \end{array} & \begin{array}{c} \text{Probability for}\\ \text{non-winning row} \end{array} \\ \hline 0 & 0.07217 & 0.09841\\ 1 & 0.24056 & 0.28703\\ 2 & 0.32648 & 0.33390\\ 3 & 0.23506 & 0.20034\\ 4 & 0.09794 & 0.06678\\ 5 & 0.02411 & 0.01233\\ 6 & 0.00341 & 0.00116\\ 7 & 0.00025 & 0.00004\\ 8 & 7.467\cdot 10^{-6} & 0\\ \hline \text{Total} & 1 & 1 \end{array} $$

Aquí está el Código Python que calculó estos valores. También podemos validar nuestros cálculos comprobando que efectivamente las sumas de probabilidades son iguales a $1$ para filas sin restricciones%2F((75!)%2F(75-8)!)%20((55!)%2F(55-8%2Bk)!))) y para [filas no ganadoras](http://www.wolframalpha.com/input/?i=Sum%7Bk%3D0..7%7D((7%20choose%20k)%20%20((20!)%2F(20-k)!)%2F((74!)%2F(74-7)!)%20*((54!)%2F(54-7%2Bk)!))) .

(continuará)

Answer 3

No soy el mejor con las probabilidades, pero lo intentaré:

Básicamente, quiere sumar las probabilidades de obtener sus 8 selecciones cuando se eligen exactamente 8, cuando se eligen exactamente 9, etc. hasta cuando se eligen exactamente 20. Es decir:

$$P(win \: jackpot) = \sum\limits_{i=0}^{12}P(win \: at \: 8+i )$$

Ahora, para ganar el premio gordo en el momento en que el $8+i$ -se llama la bola significa que 7 de sus selecciones se llamaron antes, y $i$ se han llamado balones que no eran ninguno de sus picks, tras lo cual se llama a su 8º pick.

¿Qué posibilidades hay de que esto ocurra? Bueno, en primer lugar tenemos que conseguir esos $7+i$ números iniciales: 7 de sus selecciones (y hay 8 formas de hacerlo), y $i$ sin picar (y ahí tienes $67 \choose i$ opciones), y después se necesita exactamente ese último número (con una probabilidad de 1 sobre $75-7-i$ ).

Así que:

$$P(win \: at \: 8+i)=8*\frac{67 \choose i}{75 \choose 7+i}*\frac{1}{68-i}$$

(Tenga en cuenta que con i=0 obtendría exactamente su probabilidad de 1 entre 16 mil millones)

Así pues, introdúzcalo en la suma anterior y saque una buena calculadora.

Y para que quede claro: esta sería la probabilidad de que una sola fila gane el bote.

EDITAR

Como señala A.G., podemos calcular inmediatamente la probabilidad de que una línea gane el bote:

$$P(win \: jackpot) = \frac{\binom{67}{12}}{\binom{75}{20}}$$

Esto se debe a que, como las colecciones elegidas no tienen ningún orden, esto cubrirá todos los casos que manejé por separado anteriormente, es decir, cuando la bola ganadora es la octava bola extraída, o la novena bola extraída, o ... o la vigésima bola extraída.

Tanto mi propuesta de suma como esta respuesta mucho más sencilla dan una probabilidad de:

$$P(win \: jackpot) = \frac{494}{66160995} \approx \frac{1}{133929}$$

Bien, pero ¿qué pasa con las líneas múltiples? Aquí se necesita una buena estrategia. Por ejemplo, para la segunda línea, tendría sentido no tener ningún número igual al de la primera línea. Para ver esto consideremos primero el caso extremo: la segunda línea es exactamente la primera. Entonces, si la primera línea no gana el bote, obviamente la segunda línea tampoco lo ganará. Tener 7 números iguales y 1 número diferente no ayuda mucho, ya que la mayoría de los sorteos de 20 números que harían a la segunda línea ganadora harían a la primera línea ganadora también, y como la primera línea no fue ganadora, sólo hay una pequeña posibilidad de que el sorteo de 20 números que estamos tratando sea uno de los pocos sorteos que harían a la línea 2 ganadora pero a la línea 1 no. Por lo tanto, es mucho mejor elegir 8 números completamente diferentes para la línea 2. Sí, todavía hay algunos sorteos de 20 números que descartarían la línea 2, así como la línea 1, como ganadora (por ejemplo, los que contienen los 16 números diferentes de esas 2 líneas), pero es evidente que hay muchos menos, es decir, las posibilidades de que el sorteo de 20 números con el que estamos tratando sea uno de los que hacen que la línea 2 sea ganadora y la línea 1 no lo sea son mucho mayores ahora.

He aquí un ejemplo sencillo para ilustrarlo. Supongamos que se trata de sólo 5 números en lugar de 75, que elegimos 2 en lugar de 8 y que se sortean 3 en lugar de 20.

Bien, primero considere una ecuación de selecciones con mucho solapamiento:

12,13,14,15,23,24,25,34,35,45

El primer pick (12) sería un ganador con cualquiera de los siguientes sorteos: 123,124,125. Por lo tanto, esto tiene un $\frac{3}{10}$ posibilidad de ganar (al igual que cualquier otra primera elección).

¿Cuáles son las posibilidades de que gane la segunda selección (13)? Esto sería cuando el primer pick no gana (por lo que el sorteo no es ninguno de 123,124,125), pero el segundo sí, por lo que esto sería con los sorteos 134 o 135, por lo que la probabilidad de que el segundo pick gane es $\frac{2}{7}$ .

Del mismo modo, podemos repasar el resto de selecciones de esta secuencia, y cuando sólo nos centramos en el número de sorteos que haría el $i$ -en elegir un ganador dado que ninguna de las selecciones anteriores, obtenemos los siguientes números:

3,2,1,0,2,1,0,1,0,0 (¡obsérvese que después de que el 12,13 y el 14 no ganaran, el 15 estaba seguro de no ganar tampoco!)

Bien, ahora compara esto con una estrategia de evitar el solapamiento, por ejemplo:

12,34,15,23,45,...

Ya vemos una ventaja de esta estrategia para el segundo pick, ya que gana con sorteos 134.234.345, por lo que tiene una $\frac{3}{10}$ posibilidad de ganar compardos a la $\frac{2}{10}$ para la segunda selección de la primera secuencia. De nuevo, centrándonos en el número de sorteos que nos darían un ganador, obtenemos:

3,3,2,1,1,0,0,0,0 (¡los últimos 5 no importan!)

Por lo tanto, ya sea en términos de cuántas líneas que necesita para ser garantizado para ganar el premio mayor, o si el número de selecciones que tenemos que llenar con el fin de tener un al menos $x%$ posibilidad de ganar el bote, la segunda estrategia es mejor. De hecho, centrándonos en ese 70%, la primera estrategia necesitaría 5 selecciones, pero la segunda sólo 3.

Bien, la estrategia general es que las nuevas líneas elijan números que no hayan sido elegidos antes por las líneas anteriores. Bien, pero después de un tiempo tendrá que crear líneas que se solapen con las anteriores. En ese caso, el consejo general es mantener el solapamiento al mínimo. Sin embargo, no está claro cuál es la estrategia óptima (en términos de minimizar el número de líneas para conseguir un ganador o tener al menos un ~70% de posibilidades de ganar). ¡Sospecho que es una prueba realmente desagradable!