Demuestran que existen no $a, b, c \in \mathbb Z^+$ tal que $a^3 + 2b^3 = 4c^3$

Question

Encontrar todos los enteros positivos soluciones de $a^3 + 2b^3 = 4c^3$.

Prueba: Allí no existe ningún número entero de soluciones para la ecuación. Prueba por el Principio de orden.

Deje $d$ ser el conjunto de todas las posibles combinaciones en forma de $(a, b, c)$.

Por el Principio de orden, tenemos que cada conjunto no vacío de enteros no negativos siempre tiene un menor elemento. Así, no debe ser una tupla $(a, b, c)$ tal que $\max(a, b, c)$ es el mínimo posible de valor en $d$.

También sabemos que $a$, $b$ y $c$ debe ser par. Desde $a$ debe ser, incluso si $4c^3$ tiene que ser, incluso, pero sabemos que $4c^3$ es aún, por lo $a$ es el mismo. Del mismo modo se puede demostrar que todos los $a$, $b$ y $c$ son incluso.

Ahora, vamos a $a = 2x$, $b = 2y$ y $c = 2z$.

Pero entonces, $$a^3 + 2b^3 = 4c^3$$ $$\implies (2x)^3 + 2*(2y)^3 = 4*(2z)^3$$ $$\implies 8x^3 + 16y^3 = 32z^3$$ $$\implies x^3 + 2y^3 = 4z^3$$

Por eso, $(x, y, z) \in d$. Pero, $\max(x, y, z) < \max(a, b, c)$. Pero $(a, b, c)$ se suponía iba a ser el más pequeño de dichos miembros. Tenemos una contradicción aquí. No hay ningún menor $(a, b, c)$ que satisfacer este criterio y, por tanto, no $(a, b, c)$ $d$ está vacía. Por lo tanto, no existen números enteros $a$, $b$ y $c$ que satisfacer $a^3 + 2b^3 = 4c^3$

Escribí esta prueba. Es suficiente para demostrar la pregunta anterior? Estoy en lo cierto? Hay errores en la anterior prueba? Si hay, por favor que me ayude.

¿Tienen otras maneras de probarlo?

Answer 1

Hay otra prueba usando el bien principio de orden.

Utilizamos el siguiente hecho:

Tercer poderes sólo pueden ser congruente a $0 $, $1 $ o $8 \mod 9 $.

Ahora, vemos que el lado izquierdo es congruente a $0$, $1$, $2$, $3$, $6$, $7$ o $8 \mod 9$, mientras que el lado derecho es congruente a $0, 4$ o $5 \mod 9$. Así que la única posibilidad es que el$4c^3 \equiv 0 \mod 9$$a^3+2b^3 \equiv 0 \mod 9$. La primera modular de la congruencia que da ese $3 \mid c$. El segundo sólo puede ser cierto si $3 \mid a$$3 \mid b$.

Si en una de esas no es cierto, entonces tenemos una combinación de $0 \mod 9$ $2$ o $7 \mod 9$, una combinación de $0 \mod 9$ $1$ o $8 \mod 9$, una combinación de $1$ o $8 \mod 9$ $2$ o $7 \mod 9$, ninguno de los cuales agregar a $0 \mod 9$.

Ahora supongamos que $(a,b,c)$ es la solución con la menor de las $a$.

Sabemos que $3 \mid c$, $3 \mid a$ y $3 \mid b$.

Por lo tanto escribir $a=3x, b=3y, c=3z$ y, a continuación, se $(x,y,z)$ una solución con menor $a$.