Diferenciar $y=\sin^{-1}x+\sin^{-1}\sqrt{1-x^2}$, $-1\leq x\leq1$

Question

Encontrar $\frac{dy}{dx}$ si $y=\sin^{-1}x+\sin^{-1}\sqrt{1-x^2}$, $-1\leq x\leq1$

La solución está dada como $y'=0$ en mi referencia. Pero eso no parece ser una solución completa, como la gráfica de la función es:

Mi Intento

Deje $x=\sin\alpha\implies \alpha=\sin^{-1}x$ $$ y=\sin^{-1}(\sin\alpha)+\sin^{-1}\sqrt{1-\sin^2\alpha}=\sin^{-1}(\sin\alpha)+\sin^{-1}\sqrt{\cos^2\alpha}\\ =\sin^{-1}(\sin\alpha)+\sin^{-1}\sqrt{\sin^2(\tfrac{\pi}{2}-\alpha)}=\sin^{-1}(\sin\alpha)+\sin^{-1}|\sin(\tfrac{\pi}{2}-\alpha)|\\ =n\pi+(-1)^n(\alpha)+ $$

¿Cómo debo proceder más allá y encontrar la derivada ?

Answer 1

La derivada es: (para x positivo)

$$y^{\prime}=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}+\dfrac{\frac{-2x}{2\sqrt{1-x^{2}}}}{\sqrt{1-1+x^{2}}}=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}+\dfrac{-1}{\sqrt{1-x^{2}}}=0$$

si x<0, tenemos : $$y^{\prime}=\dfrac{2}{\sqrt{1-x^{2}}}$$

Answer 2

Desde el final de la segunda línea puede obtener $$ \sin^{-1}(\sin\alpha)+\sin^{-1}\left(\sin\left(\frac\pi2-\alpha\right)\right)=\alpha+\frac\pi2-\alpha=\frac\pi2 $$ para $\alpha\in[0,\pi/2]$ y $$ \alpha+\alpha\frac\pi2=2\sin^{-1}(x)-\frac\pi2 $$ para $\alpha\in[-\pi/2,0]$, lo que le da la misma derivados como en un método estándar.