Evaluar sin L'Hopital: $\lim_{x \to 3} (x-3)\csc\pi x $

Question

Se supone que debo evaluar este límite sin utilizar la regla de L'Hopital.

$$\lim_{x \to 3} (x-3)\csc\pi x $$

Encuentro la forma indeterminada de $0$ o $\frac{0}{0}$ . Este último me dice que el de L'Hopital es una opción, pero como aún no hemos visto derivados no puedo utilizarlo.

Anteriormente ya probé a cambiar el $\csc\pi x$ para $\frac{1}{\sin\pi x}$ pero al hacer esto parece que no puedo deshacerme de la sinusitis. También creo que como el límite va a $3$ y no a $0$ El $\lim_{x \to 0}\frac{\sin ax}{ax} = 1$ tampoco es una opción.

Intenté hacer el $\sin(\frac{\pi}{2})$ para que $=1$ pero sin ningún éxito. ¿Puede alguien darme una pista? No necesito una solución completa ya que quiero intentar encontrarla yo mismo.

Answer 1

(Editado porque me acabo de dar cuenta de que no quieres una solución completa)

Sugerencia : $\sin(x) = -\sin(x + 3\pi)$ . ¡Intenta una sustitución tal que el límite que mencionas sea una opción!

Answer 2

Por un cambio de variable,

$$\lim_{x\to3}\frac{x-3}{\sin\pi x}=\lim_{y\to0}\frac{y}{\sin(\pi y+3\pi)}=-\frac1\pi\lim_{y\to0}\frac{\pi y}{\sin(\pi y)}.$$