Es $f(x)$ uniformemente continua?

Question

$f:\mathbb R\to[0,\infty )$ es continuo, de manera que $g(x)={(f(x))}^2$ es uniformemente continua. Entonces demostrar que $f(x)$ es uniformemente continua.

He intentado utilizar el siguiente método: $$ |(f(x))^2-(f(y))^2|\lt2B \epsilon \ \Rightarrow \ |f(x)-f(y)|\lt {2B\epsilon\|f(x)+f(y)|} \ \Rightarrow \ |f(x)-f(y)|\lt \epsilon $$ siempre que $|x-y|<\delta$. Pero este método sólo es eficaz cuando se $|f(x)|>B>0$. Pero, por definición, $f(x)$ puede ser cero. Ahora, ¿cuál será el método más fácil de resolver esto.

Answer 1

Para empezar, definir $h:[0,\infty) \to [0,\infty)$$h(x) = \sqrt x$.

Mi primera afirmación es que el $h$ es uniformemente continua. Hay muchas maneras de ver esto. Intuitivamente, una fija $\varepsilon$, el peor de los $\delta$$x=0$. Un enfoque consiste en dividir el dominio.

Primero considere el $h$ restringido para el dominio $[0,1]$. Entonces es continua sobre un compacto de dominio. Por lo tanto uniformemente continua. A continuación, considere la posibilidad de $h$ restringido a $[1,\infty)$, tiene un almacén de derivados. Lo que implica uniformemente continua. Por último, demostrar que se puede se puede "pegar" uniforme de funciones continuas juntos para conseguir un uniforme de función continua. Sólo tiene que elegir la mayor $\delta$.

Para mi segunda afirmación, debo mostrar que la composición del uniforme de funciones continuas es continua. Esto es sólo $\varepsilon$-$\delta$. Nada de especial.

Ahora se nota que ni siquiera he mencionado a $f$ todavía. Todos los que la necesitan es que $g$ es uniformemente continua, y $h \circ g = f.$, a Continuación, mediante la combinación de mi primera y segunda afirmación, veo que $f$ sí es uniformemente continua.

También estoy bastante seguro de que usted tendría que hacer casi el mismo trabajo para finalizar el argumento propuesto en el post. Pero de esta manera se consigue otros dos a la mano los resultados.

Answer 2

Si es posible , vamos, f no es uniformemente continua.Entonces existe una secuencia de Cauchy { $x_n$ } $\mathbb R$ tales que {$f(x_n)$} no es una secuencia de Cauchy.

(Si no, yo.e para cada secuencia de Cauchy {$x_n$}, {$f(x_n)$} es una secuencia de cauchy, entonces f es uniformemente continua, lo que contradice nuestra hipótesis)

De modo que existe $\epsilon > 0$ correspondiente a un número natural $m$ de manera tal que,

$|f(x_i)-f(x_j)|\ge\sqrt{\epsilon}$$....\forall i,j\ge m$

$\Rightarrow f(x_i)+f(x_j)\ge|f(x_i)-f(x_j)|\ge\sqrt\epsilon$ [desde $f(x_i), f(x_j)\ge 0$]

$\Rightarrow |(f(x_i))^2-(f(x_j))^2|=|f(x_i)-f(x_j)||f(x_i)+f(x_j)|\ge{\sqrt\epsilon}{\sqrt\epsilon}=\epsilon$......$\forall i,j\ge m$

$\Rightarrow |(f(x_i))^2-(f(x_j))^2|\ge\epsilon$......$\forall i,j\ge m$

$\Rightarrow${$(f(x_n))^2$} no es una secuencia de Cauchy. Es decir, existe una secuencia de Cauchy {$x_n$} tal que {$(f(x_n))^2$} no es una secuencia de Cauchy, por lo tanto {$(f(x_n))^2$} no es uniformemente continua, la cual es una contradicción. Por eso, $f$ debe ser uniformemente continua.