Ecuaciones Módulo un primo p

Question

¿Cuántas soluciones tiene la ecuación

$$x^2+y^2+z^2=0,$$

en el campo finito $\mathbb Z_p$ donde $p$ es un número primo?

Answer 1

Al $p$ es impar la ecuación de $x^2+y^2+z^2=0$ describe un no-singular cónica $\cal C$ en el plano proyectivo $\Bbb P^2(\Bbb F_q)$ donde $\Bbb F_q$ es el campo finito con $q=p^f$ elementos.

También se $\cal C(\Bbb F_q)$, el conjunto de puntos en $\cal C$ con las coordenadas en $\Bbb F_q$, no está vacía: de hecho, en cualquiera de las $p$ o $2p$$\not\equiv7\bmod 8$, de modo que por el teorema de Gauss o bien $p$ o $2p$ es la suma de tres cuadrados, proporcionando un punto de $P\in\cal C(\Bbb F_p)$.

Ahora, teniendo en cuenta los acordes (y la tangente) a través de P, la segunda intersección establece un bijection $$ \cal C(\Bbb F_q)\longleftrightarrow\Bbb P^1(\Bbb F_q). $$ Por lo tanto $|\cal C(\Bbb F_q)|=|\Bbb P^1(\Bbb F_q)|=q+1$.

Concluimos recordando que $\Bbb P^2(\Bbb F_q)=(\Bbb F_q^3-\{(0,0,0)\})/\Bbb F_q^\times$, de modo que el número total de soluciones en $\Bbb F_q^3$ es $$ |\cal C(\Bbb F_q)|(q-1)+1=(p+1)(q-1)+1=q^2. $$

Finalmente, cuando se $p=2$ hay una identidad $$ x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2 $$ así que en realidad estamos calcular el número de puntos en un hyperplane en $\Bbb F_q^3$ que es de nuevo $q^2$ por una dimensión argumento.

Answer 2

Si $p=1 \pmod 4$, entonces hay algo de $i \in \Bbb F_p$ tal que $i^2+1=0$, y después de hacer un bijective cambio de variable, $x^2+y^2 = (x+iy)(x-iy) = uv$. Ahora, $uv$ tiene el valor de $0$ cuando $u$ o $v$$0$, es decir, $2p-1$ veces. Además, se lleva a cualquier otro valor en $\Bbb F_p$ exactamente $p-1$ veces. El uso de esta, hay $(2p-1)+(p-1)(p-1) = p^2$ soluciones a $x^2+y^2 = -z^2$

Si $p=3 \pmod 4$, entonces sólo hay una solución a $x^2+y^2=0$. Para distinto de cero $z$, después de que se adhiere a la raíz cuadrada de $-1$ y haciendo un cambio de variable en $\Bbb F_{p^2}$ necesitamos para describir la distribución de $(x+iy)(x-iy) = u \overline{u}$$u \in \Bbb F_{p^2}^*$. Vamos $f : u \in \Bbb F_{p^2} \mapsto u \overline{u} \in \Bbb F_p^*$. $f$ es un grupo de morfismos, y $\overline{u}=u^p$$f(u) = u^{p+1}$. Por lo tanto, $\ker f$ es el subgrupo de $(p+1)$th raíces de la unidad en la $\Bbb F_{p^2}^*$, que es de tamaño $p+1$. Entonces, la imagen de $f$ tiene que contener la $(p^2-1)/(p+1) = p-1$ elementos, por lo tanto es surjective : por cada valor distinto de cero $z$ no se exactamente $p+1$ soluciones a $x^2+y^2=z$.
Mediante este podemos contar el número de soluciones a$x^2+y^2= -z^2$, $1+(p+1)(p-1)=p^2$

Answer 3

He aquí una manera de calcular la respuesta exacta al $p\equiv1\pmod4$: elija $s$ a satisfacer $s^2\equiv-1\pmod p$, y escribir el deseado de congruencia como $(x+sy)(x-sy) \equiv -z^2 \pmod p$. La matriz $\begin{pmatrix}1&s\\1&-s\end{pmatrix}$ ha determinante $-2s$, que es invertible modulo $p$; por lo tanto, el par $u=x+sy,v=x-sy$ se ejecuta a través de cada par de residuos modulo $p$ exactamente una vez cada uno, ya que el par $x,y$. También, $w=sz$ corre a través de todos los residuos modulo $p$$z$. Tan sólo necesitamos contar las soluciones de $$ uv\equiv w^2\pmod p, $$ desde $w^2=(sz)^2 \equiv -1\cdot z^2\pmod p$. Hay $2p-1$ soluciones con $uv\equiv0\pmod p$, e $2$ soluciones para cada una de las $(\frac{p-1}2)^2$ pares de $u,v$ de los residuos cuadráticos, y $2$ soluciones para cada una de las $(\frac{p-1}2)^2$ pares de $u,v$ de los cuadrática nonresidues, para un total de exactamente $p^2$ soluciones.

Algunas rápida cálculo indica que la respuesta es siempre exactamente $p^2$. Alguna idea?