Interactivo problema de demostrar la no-intuitiva de probabilidad de los resultados a una gran multitud?

Question

Voy a presentar a una gran multitud de cerca de 2.000 personas sobre cómo nuestra intuición no se alinea con la realidad en muchas situaciones, como siempre he estado impresionado con la forma de análisis estadístico nos puede mostrar cómo funciona el mundo, para llevarnos a aceptar que nuestra intuición sobre la probabilidad puede ser.

Lo que estoy buscando es

1. Sugerencias sobre preguntas específicas/enigmas o situaciones que le puedo dar a esta multitud que sería una demostración de esto en el más impresionante de ellos por el camino realmente responder a las preguntas y el resultado de ser contada allí

2. Algunas sugerencias de Estadística Matemáticas aplicadas a ese problema, para demostrar una probabilidad esperada (con, digamos, 80% de confianza, o lo que sería más apropiado) resultado final dado un tamaño de muestra de N, por lo que puedo saber de antemano el número que debo esperar el resultado de estar cerca.

El tono de este evento no me permiten dar cualquier Matemático explicaciones, por lo que una demostración sería más poderosa para ilustrar el punto. Como tal, las preguntas que me gustaría preguntar a la multitud tendría que ser sencillo para la mayoría de la gente para seguir y para permitir que levanten la mano para ser tomado en cuenta, o tener una discusión con aquellos alrededor de ellos (en los grupos de x, que podría ser definida en esbozar el problema). Voy a tener cerca de dos docenas de ayudantes potencialmente recuento de las manos o pedir a los grupos lo que el resultado es, y lo haremos de forma rápida, por lo que la precisión puede ser sacrificado en aras de llegar a un impresionante resultado final.

El clásico ejemplo que demuestra esta bien con fines explicativos (sin depender de un directo en la implementación), sería el cumpleaños problema, pero que solo necesita de 23 personas para las probabilidades a ser más de 50/50 de la misma fecha de nacimiento, e incluso si se ha probado en un grupo de 23 personas, haciendo de ella una vez sería una mala manera de demostrar su punto, porque de cómo la probabilidad de que realmente funciona lo que significa que tal vez no habrá que comparte cumpleaños de este tiempo. Pero con un gran grupo de personas, podemos tener más confianza para acercarse a un número en particular.

Al principio, pensé que podría escalar el problema del cumpleaños y simplemente pedimos un pequeño número de preguntas para llegar a la más común de cumpleaños para toda la multitud, sino en plantear otra pregunta aquí para ver cuál es el número esperado puede ser, me recuerda por qué estoy preguntando aquí, en primer lugar, en cómo rusty mis estadísticas de conocimiento, dado que al hacerlo se enfrentan a la ley de los grandes números y darles la forma intuitiva (mucho menos impresionante) resultado esperado.

Yo podría, por supuesto, dar una simple vuelta de tuerca a un clásico de la probabilidad de la situación, tales como la de Monty Hall problema, por un espectáculo de manos de quién hará qué cosa, o que sería de esperar que probabilidades. Que el resultado no será tan impresionante, aunque a partir de la gran cantidad no es realmente un resultado, tanto psicológica, prueba de que la mayoría de la intuición de la gente está apagado. Si nada más funciona, me gustaría hacer esto y simplemente explicar el problema, pero que el trabajo para una pequeña multitud tan bien, y me gustaría tomar ventaja de tener un gran público, y la ley de los grandes números de trabajar para mí para estar seguro de obtener un determinado resultado o muy cerca.

Aquí hay un par de mis ideas rápidas sobre cómo hacer esto, pero me gustaría ver si alguien me puede dar una prueba demostrable de uno de estos o de otra demostración que usted puede tener en cuenta, que daría un gran resultado final, donde la intuición (para que el laico no familiarizados con las estadísticas) no puede esperar:

• Intento de dividir a la multitud en grupos de aproximadamente 23 (o un poco más si la disposición de los asientos hacen que sea más fácil), y darles a 2 minutos de averiguar si hay alguna compartido cumpleaños. Cuando hayan terminado, contar el número de éxitos, que debe ser aproximadamente la mitad (el 43 de ~87 grupos de que forma). [Este trabajo como se esperaba, o me estoy olvidando de algo?]
• La respuesta a esta pregunta tiene varias propuestas interesantes que voy a estar viendo a ver qué podría ser más divertido, pero podemos encontrar una respuesta esperada, dada mi criterio, y de que, saber cuál va a ser el más impresionante?

Answer 1

Tal vez se dio en el problema del cumpleaños demasiado rápido. Si se divide el la audiencia en grupos de 50 (probabilidad .97) entonces casi cada grupo tendrá uno o más de los cumpleaños de los partidos; y la probabilidad de .994 para el grupo de 60). Intuitivamente, me parece casi como poco probable que se de un partido entre los 50 como entre los 23. [Cálculo a continuación, a partir R de software estadístico.]

n = 1:60;  p = numeric(60)
for (i in n) {
  q = prod(1 - (0:(i-1))/365)
  p[i] = 1-q }
plot(n, p, pch=20);  abline(h=0:1, col="darkgreen")
p[n==23]; p[n==50]; p[n==60]
## 0.5072972  # just over 1/2 for 23 people
## 0.9703736  # above 97% for 50
## 0.9941227  # almost sure for 60

¿Por qué la gente tiene que la probabilidad? (a) el Pensamiento de la probabilidad su propio cumpleaños va a ser igualado, pero hay ${n \choose 2}$ pares de las personas que podrían tener un partido. (b) tomar 366 personas (ignorando el 29 de Febrero) para estar absolutamente seguro de que el partido y los 50 años es un largo camino desde 366, pero la probabilidad no aumenta linealmente (como se muestra en el gráfico).

Notas: (a) El modelo no es exactamente correcto, porque en los estados unidos hay más de nacimientos a finales del verano que en invierno. Sin embargo, los estudios de simulación con desigual nacimiento frecuencias, como en el que NOS muestran muy poco cambio de la valores teóricos (y el cambio es aumentar la probabilidad por un poco). Por supuesto, hay un punto de ruptura. Usted no quiere para probar esto en una convención de gemelos o en una reunión de la de Sagitario De la sociedad; entonces, evidentemente, usted conseguiría partidos.

(b) también se puede encontrar la espera de los números de cumpleaños de los partidos, con una media de alrededor de 0,8 en un grupo de 23. Yo podría estimar que es para un grupo de 50, si te gusta. (Tres personas nacidas en 7/4 cuenta como dos partidos.)

(c) ¿para un grupo de 50 a determinar rápidamente si tiene partidos? Empezar por encontrar coincidencias en enero, Febrero, etc. A continuación, compruebe exacto de días dentro de esos grupos. Lo he probado en una clase de alrededor de 50 sin el caos.

Adenda: En caso de que sea de utilidad, aquí es un de papel a partir de una presentación en la conferencia dada por uno de mis ex-alumnos basa en las notas de clases por mi y un colega. Algo material similar aparece en el cap 1 de la E. Suess et al.(2010) Springer.

Answer 2

Esto probablemente no es práctico para una audiencia de 2000, pero supongamos que usted podría preparar suficiente sobres para que cada persona en el público la recibe. Entonces, usted puede hacer una simulación de la detección de cáncer de demostración, a lo largo de las siguientes líneas.

Le dices a la gente hay una prueba de detección para una forma de cáncer que se produce en el uno por ciento de la población. La prueba es del 95 por ciento de precisión, es decir, en este caso en el que nunca se da un falso negativo, pero da falsos positivos del 5 por ciento del tiempo. En el interior de su (blanco) de la envolvente es el resultado de su prueba. Si es un sobre verde, el resultado de la prueba fue negativo, y que son libres de cáncer. Si es una naranja de la envolvente, la prueba fue positiva.

Antes de abrir el sobre blanco, cuán preocupado está usted de que usted tiene cáncer? Discutir con los amigos a su alrededor.

Ahora abrir su sobre blanco. Estás aliviado por el resultado? Si el interior de la envolvente es de color naranja, ¿cuáles son sus probabilidades de tener cáncer? Discutir con los amigos a su alrededor.

Todo el mundo con una naranja sobre, por favor ponerse de pie. Mire alrededor de usted. Eso te hace más preocupado o menos? Discutir.

Como sucede, de la naranja sobre contiene una tarjeta que es de color verde, saludable, o rojo, para, bueno, ya sabes. Vaya por delante y abierto.

Una demostración de como esto puede o puede que no funcione bien, pero es bien sabido que incluso los médicos enormemente sobreestimar la probabilidad de que una prueba de detección positiva presagia un diagnóstico de cáncer. (Lo mismo es cierto para otras enfermedades.) Es común el desprecio de la fijación de la rareza (en este caso uno por ciento) y simplemente pensar que si una prueba es del 95 por ciento de precisión, a continuación, un resultado positivo significa que la probabilidad de tener cáncer es de 95 por ciento. La demo (y discusión) espero que muestran que cerca de 1 en 6. Teorema de Bayes, parece, es difícil de envolver su cabeza alrededor.

Answer 3

Todavía me gusta la idea de tener alguna variante del problema del cumpleaños:

Entonces, ¿cómo acerca de:

¿Cuál es la probabilidad de que haya al menos un día del año que nadie en el público tiene de su cumpleaños?

A menos que me equivoco:

$A$: Hay al menos un día donde nadie ha su cumpleaños

$B$: No hay días donde nadie ha su cumpleaños = para todos los días, al menos una persona en la audiencia que tiene, que como su cumpleaños

$C$: Para un día específico, al menos una persona en el público tiene de su cumpleaños ese día.

$D$: Para un día específico, nadie en el público tiene de su cumpleaños ese día.

$P(D) = \frac{364}{365}^{2000} \approx 0.004$

$P(C) = 1-P(D) \approx 0.996$

$P(B) = P(C)^{365} \approx 0.22$

$P(A) = 1-P(B) \approx 0.78$

Así que .. hay una probabilidad bastante alta (78%) que hay al menos un día donde nadie en el público tiene de su cumpleaños ... que puede venir como un poco de una sorpresa ... especialmente después de hablar de la ley de los grandes números!

De hecho, usted debe tener algunos demostración interactiva de la Ley de los Grandes Números debido a la gran audiencia que tiene ... así que por eso, usted podría preguntar:

¿Cuántos días al año debo coger para que al menos la mitad de la audiencia se ha su cumpleaños durante uno de esos días?

Ahora, francamente, no sé el número esperado de días que usted necesita para recoger (tal vez alguien mejor en matemáticas y estadística y probabilidad puede encontrar que ..) pero estoy bastante seguro de que si que se espera que el número de es $X$ (es decir, 100 días), con una audiencia de 2000, es muy probable que para estar muy cerca de $X$. Es decir, se puede proclamar " creo que se trata de X días!', y supongo que usted tiene una muy buena posibilidad de que usted está dentro de los 5 días cuando usted hace esto con su público.

Así que .. ¿cómo hacer esto con su audiencia? Asumiendo que tienen sus teléfonos en ellos, podrían ir a un sitio web que se le da, y seleccione su cumpleaños, y un equipo hace el resto ... ¿tienes a alguien que podría poner que juntos?

Answer 4

En primer lugar, permítanme decir que es genial que usted está tratando de involucrar a un público tan grande con una pregunta interactiva. Es difícil, pero puede ser muy eficaz. No estoy seguro de lo que es el tema de la charla, o cómo matemáticamente versado el público va a ser, pero que son difíciles de nuestra intuición puede ser una gran participación de la técnica. Usted menciona que usted no tiene el tiempo para mostrar/demostrar a la audiencia por qué los resultados correctos son correctos. Mediante el experimento(s), usted acaba de sugerir que su intuición es malo. Sería bueno darles algún tipo de intuitivo "por qué" que les ayudan a absorber estos nuevos resultados. O tal vez su mensaje puede ser "las Matemáticas pueden ayudar a construir una mejor intuición, saber cómo". No estoy seguro de cuál es su meta. Todos estos asuntos (tema, sus objetivos, su audiencia) son importantes y pertinentes para este soft pregunta, así que tal vez usted puede modificar la descripción de la pregunta con estos detalles.

Como usted probablemente ha descubierto, la difícil cuestión no es tanto cuál es el problema para elegir pero cómo adaptarlo teatralmente para hacer que funcione en términos de logística, el tiempo, el tedio, dramático y de suspenso.

El problema del cumpleaños es muy buena en términos de la lucha contra la intuición, pero los detalles de cómo mostrar que son muy importantes. Su sugerencia de dividir la audiencia en grupos de a $23$, a hacer la prueba, informe de un éxito o no, y luego ver que alrededor de $50\%$ de los grupos tuvieron éxito, mientras correcta en (matemática) en principio, parece una pesadilla logística y teatralmente. Primero de todo, $23$ es de un gran número de personas para formar grupos, especialmente mientras está sentado. Pero lo más importante después de los experimentos se llevan a cabo, es difícil ver de inmediato cómo nuestra intuición está mal. Podemos tener los líderes de grupo (oh a la derecha que usted necesita para seleccionar estos también) que levanten la mano en caso de éxito, pero es difícil que alguien de inmediato interpretar el resultado visualmente. Van a ver a unos 40 manos, y tendrás que explicar lo que esto significa. En otras palabras, usted no tiene el "Wow!" inmediata reacción de la audiencia.

El problema del cumpleaños (redux)

Yo creo que el problema del cumpleaños necesitará un representante del grupo para que aparezca en el escenario (o de alguna manera traer hasta el frente). $23$ de las personas son muy pocos, porque sólo se $50\%-50\%$ para obtener un éxito. Me gustaría ir con un grupo que le da el 90% o más. Esta es la configuración del experimento. Primero pregunte: "¿cuántas personas necesitamos para garantizar el 100% de que al menos dos personas en el grupo comparten el mismo cumpleaños?" $366$ (o $367$) son respuestas aceptables. Hace sentido intuitivo.

A continuación, siga con la pregunta más interesante: "¿cuántas personas necesitamos ser casi seguro, dicen con $95\%$ de probabilidad de que vamos a obtener al menos un par de coincidencia?" Generalmente la gente responde con números de más de $300$. Ya que una gran audiencia, usted les puede ofrecer opciones: Show de las manos de los que piensa que es menos de $350$... menos de $300$... menos de $200$...?

"¿Y si te dijera que solo es $46$ de la gente! Podemos hacer un experimento, ¿quieres hacer un experimento? Vamos a llegar a $46$ de la gente en el escenario, yo apuesto a que vamos a encontrar un partido!". También puede aumentar la apuesta por arriesgar a perder algo (por ejemplo, $46$ uno de billetes de un dólar, o pintar una X roja en la frente para el resto de la charla, ser creativo). Luego también es importante la forma de instalación de la "revelar". Tienen ellos en una línea, les damos un micrófono, y dejar que ellos anuncian su cumpleaños, uno por uno. También instruirlos que si escuchan su cumpleaños dicho por alguien que levanten sus manos en el aire y decir "¡Yo también!". También puede pedirles que estrechar la mano (o cinco, o un abrazo) y el experimento va a ser más! Te has ganado la apuesta esperamos :)]. Tenga en cuenta que necesitará menos de $20$ el promedio de personas a hablar en el micrófono, antes de que alguien más de la $46$ total grita "¡Yo también!". Esto se puede lograr a $3-4$ minutos (el más lento es convencer a la gente sobre el escenario). Luego, puede incluso ofrecer algunos intuición de por qué un bajo número es correcto (BruceET la respuesta se describe el concepto básico).

Moneda de problemas

También vale la pena explorar algunas moneda volteando problemas. Pues es difícil confiar en que todos tengan las monedas, o dando monedas a todos, yo volvería a ir con un grupo representativo de alrededor de $20$ de personas que puedes invitar en el escenario y les dan monedas.

Lanza una moneda al aire 5 veces. Qué es más probable?

• Usted obtendrá el mismo resultado al menos 3 veces en una fila
• Usted no va a obtener el mismo resultado 3 veces en una fila

La gente suele pensar que es poco probable de obtener el mismo resultado $3$ veces en una fila. De nuevo se les puede dar opciones para tener una estimación: "¿Qué porcentaje de la $20$ de las personas que realizan el experimento se consigue $3$ en una fila?" A mano alzada para $50\%$, $30\%$, $20\%$, menos de $10\%$. Hacer el experimento. Las personas que quedaron $3$ en una fila que levante la mano (o de paso). ¿Cuántos esperan obtener? La matemática dice que la respuesta es $50\%$ ($16$ de la $32$ posible voltear los resultados a obtener la misma cara $3$ veces en una fila o más). De manera que obtendrá el sorprendente número de alrededor de $10$ personas dando un paso adelante.

Lanza una moneda cuatro veces. Qué es más probable?

• Obtendrá [Jefes] exactamente dos veces
• Usted no va a conseguir [Jefes] exactamente dos veces

Parece intuitivo que es más probable obtener exactamente dos en la cabeza y dos colas. Este es el resultado esperado, después de todo. Pero esto es cierto sólo en el promedio. No es probable que para las monedas para ser perfectamente divididos en igual número.

Para 4 total voltea la probabilidad de obtener exactamente dos H y dos T ${4 \choose 2} 0.5^4 = 0.375$

Para $10$ voltea una perfecta división de probabilidad ${10 \choose 5} 0.5^{10} \approx 0.246$

Para $20$ voltea una perfecta división de probabilidad ${20 \choose 10} 0.5^{20} \approx 0.176$

Los dados o a las cartas de los problemas

Tienes cuatro cartas: a, K, Q, J. Su amigo de la coge dos cartas al azar. ¿Cuál es la probabilidad de no obtener la K o Q?

La respuesta es solo $1/6 \approx 16\%$

Rollo de 6 caras morir. A continuación, rodar un 10 colindado muere. Entonces el rollo de 20 caras morir. Qué es más probable?

• Los tres resultados son, en orden creciente
• Los tres resultados no están en orden creciente

La respuesta es que los resultados son no en orden creciente con una probabilidad de alrededor de $57\%$.

Este problema/experimento puede no ser tan exitoso, porque la intuición detrás de ella es más débil. La gente podría pensar orden creciente es más probable, pero mi instinto dice que no se preocupa demasiado de una forma u otra. También es más difícil de hacer ya que se necesita para proporcionar a los no tan comunes, de 10 caras y 20 caras de los dados. Usted puede fácilmente ordenar en línea, pero se requiere más preparación de su parte. No es tan fácil como la provisión de $20$ monedas.

Espero que mis ideas te ayudó un poco. Por favor, háganos saber la charla se fue!

Answer 5

Aquí hay un par de sugerencias:

Sugerencia 1:

Las personas son a menudo sorprenden a lo largo de la pista más larga es de una serie de tiradas de la moneda. Para llegar a esto es que cada uno escriba lo que piensa que podría ser una secuencia razonable de tiradas de la moneda (a menudo 200 lanzamientos se utiliza) y, a continuación, encontrar la pista más larga de esta secuencia de (falsa) coin flips. A continuación, pida a la persona que en realidad una moneda que el número de veces y compruebe el más largo plazo. Generalmente, para 200 coin flips habrá una carrera de longitud de al menos 7, mientras que esto es relativamente raro que el hecho de secuencias.

Para obtener la secuencia real de 200 volteretas, usted podría entrar en grupos de 10 y que cada persona flip 20 veces y pegar a continuación, junto con sus resultados a la forma de una larga secuencia.

O tal vez usted quiere buscar sólo en las secuencias de, digamos, 50 vueltas (lo que hace que sea más fácil para producir la secuencia y para identificar la pista más larga). Con 50 reales volteretas, parece ser que hay una mejor que $50\%$ de probabilidad de una carrera de al menos 6 (basado en una simulación por ordenador me encontré 100000 veces).

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Sugerencia 2:

Imagina que cada día que usted y sus 9 compañeros de oficina (de un total de 10 personas) tienen un sorteo para ver quién tiene que hacer el café ese día. Cuántos días podría imaginar hasta que todo el mundo ha hecho el café por lo menos una vez? [Creo que la gente tiende a la baja de una pelota de esto cuando adivinar, pero en promedio se tomará aproximadamente 29 días para cada persona para dibujar café deber al menos una vez.]

Esto es algo que se puede simular en grupos de tamaño 10, en donde cada persona que escriba su nombre en una hoja de papel y, a continuación, dibujo al azar, con la sustitución, hasta que cada nombre había sido visto por lo menos una vez.

Nota: Si usted tiene a los fanáticos del béisbol en su audiencia, que podría ser divertido para considerar cómo esta idea se aplica a los Cachorros de Chicago recientemente terminó 108 años de la Serie Mundial de la sequía: En una liga de 30 equipos (he.e, MLB), suponiendo (poco realista) de que cada año, cada equipo tiene un $\frac{1}{30}$ de probabilidades de ganar la Serie Mundial, ¿cuánto tiempo tendría que esperar el unluckiest equipo a tener que esperar un campeonato (lo que es equivalente, cómo muchos años hasta que cada equipo ha ganado al menos una vez). Resulta que, en promedio, el unluckiest equipo tiene que esperar alrededor de 120 años para un campeonato. Con esto como telón de fondo, un 108 años de sequía no es en absoluto razonable para algunos equipos que tienen que soportar; aunque en honor a la verdad, la liga no tiene 30 equipos durante todos esos años.