Buscando una prueba más directa para: $m+n\mid f(m)+f(n)\implies m-n\mid f(m)-f(n)$

Question

Si $f:\mathbb N\to\mathbb Z$ se satisface:

$$\forall n,m\in\mathbb N\,, n+m\mid f(n)+f(m)$$

Cómo demostrar que esto implica:

$$\forall n,m\in\mathbb N,\,n-m\mid f(n)-f(m)?$$

Casi por casualidad pude lo demuestran clasificando dichas funciones pero eso parece un poco tortuoso para un resultado así. ¿Hay alguna prueba que sea (más) directa?

Answer 1

En realidad, esto es bastante fácil. Deja que $n>m$ y tomar un $N$ tal que $N(n-m)>m$ . Establecer $a=N(n-m)-m$ . Entonces $$ m+a=N(n-m),\qquad n+a=m+a+n-m=(N+1)(n-m). $$ Ahora $$ f(n)-f(m)=f(n)+f(a)-(f(m)+f(a)), $$ pero por suposición $n-m\mid f(m)+f(a)$ y $n-m\mid f(n)+f(a)$ y hemos terminado.