Buscar resultados en la teoría de grupos obtenidos por applping topología algebraica herramientas

Question

Después de estudiar la primera sección, sobre todo en la sección 1.3 (cubriendo espacios) en Hatcher libro, es obvio que muchos de los temas clásicos en teoría de grupos, especialmente en el infinito de la teoría de grupo, han agradable interpretación geométrica, no puedo ayudar a poner la siguiente pregunta:

Pregunta 1: ¿no hay resultados en teoría de grupos, que son mucho más fáciles de ser obtenidos por geométricas, o topolocial herramientas que puramente algebraica de herramientas?

Por supuesto, el primer ejemplo típico viene a la mente es que cualquier subgrupo de un grupo libre es libre. Hay otros ejemplos?

Ya que es una idea común en el grupo alegbras que podemos comparar las propiedades de los grupos con el álgebra se ha generado, y sabemos que el grupo de free $F_2=Z*Z$ tiene una buena interpretación geométrica considerando su grafo de cayley, me gustaría hacer la siguiente pregunta,

Pregunta 2: Denotar $L(F_2)$ a ser el de von-Neumann álgebra asociada al grupo libre generado por dos elementos, hay alguna geométricas interpertation para esta álgebra?

Por supuesto, otro de los motivos para pedir la 2ª pregunta es que tenemos ya muchos conocen candidato invariantes asociados a estas libre grupo de factores, tales como la libertad de dimensión en la libertad de probabilidad, el número de generadores, etc, pero en mi opinión, la mayoría de ellos son más o menos algebraicas y analíticas en los naturales.

Answer 1

Aquí hay dos ejemplos de cómo la topología puede ser utilizado para obtener los resultados en teoría de grupos.

Deje $G$ ser un torsionfree grupo. A continuación, se trata de una clásica conjetura de que la Whitehead grupo $Wh(G)$ se desvanece. Este Whitehead grupo es el cociente de la primera algebraica de K-teoría del grupo de $\mathbb{Z}G$, por lo que a priori puramente algebraica definida.

Ahora por el famoso s-cobordism indica que si $G = \pi_1(X)$ es el grupo fundamental de algunos colector $X$, entonces hay un canónica bijection

$$ Wh(G) \cong \{ \text{h-cobordisms from X to some other manifold Y} \}/diffeomorphism $$

y de hecho algunas pruebas de que $Wh(G)=0$ son obtenidos mediante el estudio de la mano derecha, y geométricamente mostrando que no sólo son triviales h-cobordisms.

Como segundo ejemplo, la otra vez deje $G$ ser un torsionfree grupo. A continuación, se cree que el complejo anillo de grupo $\mathbb{C}G$ no tiene no trivial idempotente elementos, es decir, sólo $0$ $1$ son tales idempotents.

Esta conjetura, por ejemplo, de la siguiente manera a partir de cualquiera de las Farrell-Jones Conjetura o la Baum-Connes Conjetura. Estas conjeturas se acerca algebraicas $K$ $L$ teoría y topológicas $K$-teoría para ciertas álgebras de grupo y han resultado de una gran clase de grupos. Una buena encuesta acerca de estas conjeturas se pueden encontrar en el Prof. Wolfgang Luecks página de inicio, sólo google su nombre. Por otra parte creo que estas conjeturas son de naturaleza topológica, (que están relacionados con la cirugía de la teoría y el índice de la teoría).

Como yo sé que prueben cualquiera de estas conjeturas para el grupo $G$ es una de las principales formas de llegar a la idempotente conjetura, que a priori no tienen nada todo con la topología.