Demostrar que una sucesión monótona de números reales es convergente si y sólo si está acotada.

Question

Demostrar para una secuencia decreciente. Tengo dificultades con la segunda parte

1. Primero supuse que es convergente y y demuestro que está acotada.
2. Suponga que está acotado y demuestre que es convergente He utilizado la propiedad de completitud $\ X_n$ $\geq M$ para todos $n \in N $ donde M es el mínimo

Answer 1

Sugerencia: Para cualquier $\epsilon > 0$ , $M+\epsilon$ no es un límite inferior para la secuencia. Por lo tanto, existe $X_n$ tal que $$ M+\epsilon > X_n \geq M $$