Taller sobre el Triángulo de Pascal para los Estudiantes de Escuela Intermedia

Question

Vamos a hacer tres horas de taller de matemáticas para algunos estudiantes de la escuela intermedia. Va sobre el triángulo de Pascal.

Así, se puede pedir a los estudiantes a encontrar patrones en el triángulo, o intentar probar algunos de sus más sencilla de las propiedades. Pero, por un lado, que pronto va a llegar a propiedades que no son lo suficientemente fácil como para ser dejado a ellos para ser probado, y por otro lado queremos que el taller a ser divertido y emocionante.

Así que necesitamos

• Algunas de las actividades (construir algo, un juego) relativa a la triángulo,
• Una interesante película corta sobre el triángulo,
• Algunas de las tareas sobre el triángulos de ser dado a los estudiantes a hacer , por su propia cuenta.

Yo estaría muy agradecido si usted podría compartir sus ideas conmigo, y me ayudan a encontrar lo que se necesita (es decir, los elementos anteriores).

P. S. Estas son algunas de las interesantes propiedades de los triángulos, que probablemente no va a ser fácil ser demostrado por los estudiantes en sus propios:

• Las filas son simétricas.
• Cada elemento es la suma de los dos elementos anteriores.
• Los elementos de cada fila suma de hasta una potencia de 2.
• Elementos de una fila relacionados con los números primos son todos divisibles por él - a menos que los dos 1.

Answer 1

Una propiedad que combina dos interesantes tipos de número:

$$\newcommand\br{\color{color marrón}}\begin{array}{cc} &&1\\ &\swarrow&\br{1}&1\\ 1&\swarrow&1&\br{2}&1\\ \br{1}&\swarrow&\br{1}&3&\br{3}&1\\ 2&\swarrow&1&\br{4}&6&\br{4}&1\\ \br{3}&\swarrow&\br{1}&5&\br{10}&10&\br{5}&1\\ 5&\swarrow&1&\br{6}&15&\br{20}&15&\br{6}&1\\ \br{8}&\swarrow&\br{1}&7&\br{21}&35&\br{35}&21&\br{7}&1\\ 13&\swarrow\\ \br{21} \end{array}$$

La diagonal sumas son los números de Fibonacci consecutivos. (El hecho no es tan difícil de explicar de manera informal: la regla de construcción para el triángulo de Pascal produce naturalmente la de Fibonacci recurrencia.)

Hay el palo de hockey (o media de la Navidad) patrones:

$$\begin{array}{cc} \begin{array}{cc} x\\x\\x\\\vdots\\x\\x\\&\searrow\\ &&\text{sum} \end{array}&\quad&\text{y}&\quad&\begin{array}{cc} x\\&x\\&&x\\&&&\ddots\\&&&&x\\&&&&&x\\&&&&&\downarrow\\&&&&&\text{sum} \end{array} \end{array}$$

La reducción de Pascal el triángulo de mod $2$ produce el triángulo de Sierpiński, que tiene todo tipo de patrones:

$$\newcommand\0{\color{magenta}0}\begin{array}{r|cc} \underline{0}&\underline{1}\\ \underline{1}&\underline{1}&\underline{1}\\ 2&1&\0&1\\ \underline{3}&\underline{1}&\underline{1}&\underline{1}&\underline{1}\\ 4&1&\0&\0&\0&1\\ 5&1&1&\0&\0&1&1\\ 6&1&\0&1&\0&1&\0&1\\ \underline{7}&\underline{1}&\underline{1}&\underline{1}&\underline{1}&\underline{1}&\underline{1}&\underline{1}&\underline{1}\\ 8&1&\0&\0&\0&\0&\0&\0&\0&1\\ 9&1&1&\0&\0&\0&\0&\0&\0&1&1\\ 10&1&\0&1&\0&\0&\0&\0&\0&1&\0&1\\ 11&1&1&1&1&\0&\0&\0&\0&1&1&1&1\\ 12&1&\0&\0&\0&1&\0&\0&\0&1&\0&\0&\0&1\\ 13&1&1&\0&\0&1&1&\0&\0&1&1&\0&\0&1&1\\ 14&1&\0&1&\0&1&\0&1&\0&1&\0&1&\0&1&\0&1\\ \underline{15}&\underline{1}&\underline{1}&\underline{1}&\underline{1}&\underline{1}&\underline{1}&\underline{1}&\underline{1}&\underline{1}&\underline{1}&\underline{1}&\underline{1}&\underline{1}&\underline{1}&\underline{1}&\underline{1}\\ \end{array}$$