Consideremos un espacio de medidas $(X, \Sigma, \mu)$ y otra medida $\nu$ en el mismo espacio. Me interesan las condiciones en las que $\nu$ puede representarse mediante una función de densidad $f$ en $X$ Así pues, para la medición de $S$ , $\nu(S) = \int_S f \, \text{d}\mu$ . Una condición necesaria es que para cualquier $S$ , si $\mu(S) = 0$ entonces $\nu(S) = 0$ . ¿Es ésta una condición suficiente? Si no lo es, ¿qué otras condiciones deben incluirse?
Respuesta
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Si las medidas son $\sigma$ -finito, se aplica el teorema de Radon-Nikodym. Podemos encontrarlo en cualquier libro de texto sobre teoría de la medida, véase El libro de Athreya por ejemplo.
Si una de las medidas no es $\sigma$ -finitos, el resultado puede no ser válido. Por ejemplo, consideremos $[0,1]$ con $\mu$ Medida de Lebesgue y $\nu$ medida de recuento (que no es $\sigma$ -finito). Entonces $\mu\ll\nu$ pero cada singleton tiene medida $0$ para $\mu$ (por lo tanto, si una densidad $f$ existía, $f(x)=0$ para todos $x$ , lo cual no es posible.
