Realmente necesito un poco de ayuda en este problema:
Deje $p$ ser un primer número y $n$ un número natural, $n>=2$ tal que $n | p-1$$p | n^3-1$. Demostrar que $4p-3$ es un cuadrado.
Por lo $p | (n-1)(n^2+n+1)$
Lo que si $p | (n-1)$? El tratamiento de los casos no era muy eficiente. Yo estaba pensando acerca del teorema de Fermat, pero no ayudó mucho.
Una sugerencia sería muy apreciado. Gracias!
Nota: $p \mid n-1$ es imposible, porque la $n \le p-1$, por lo que tenemos $p \mid n^2+n+1$.
Desde $n \mid p-1$, podemos escribir $p = an+1$ para algunos entero $a \ge 1$. Desde $p \mid n^2+n+1$, podemos escribir $$n^2 + n + 1 = bp = b(an+1)$$ for some integer $b \ge 1$.
La reducción de modulo $n$ da $1 \equiv b \pmod{n}$, por lo que escribir $b = rn+1$ para algunos entero $r \ge 0$. Poner esto en la ecuación anterior da $$n^2 + n + 1 = (rn+1)(an+1).$$
Si $r \ge 1$,$(rn+1)(an+1) \ge (n+1)^2 > n^2+n+1$, lo cual es una contradicción. Así $r = 0$, $b = 1$, y $n^2 + n + 1 = p$, con lo que conseguimos $4p-3 = (2n+1)^2$.
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