Encontrar la intersección de dos funciones

Question

Encuentre el punto de intersección entre $y=\sqrt{x}$ y $y=\dfrac{x^2}{8}$ .

Sé que tengo que ponerlos iguales y resolver para el cero. El problema que tengo es que estos términos son bonitos y no se factorizan bien. Esto es lo más lejos que he llegado $$\sqrt{x}=\dfrac{x^2}{8}$$ $$\sqrt{x}-\dfrac{1}{8}x^2=0$$

¿Qué técnica puedo emplear para solucionar este problema? ¿Podría alguien aclararme este problema? Gracias.

Answer 1

Si se reescribe la ecuación utilizando $y=\sqrt x$ la ecuación se convierte en $$\begin{align} y -\frac{1}{8}y^4 =& 0\\ -\frac{1}{8}y\left(y^3-8\right)=& 0\\ \end{align}$$

y puedes seguir factorizando esto para encontrar más raíces. Si haces esto, tienes que comprobar esas verdaderas $y$ que ha obtenido puede escribirse como $\sqrt x$ para algunos $x$ . Es decir, sólo debe aceptar reales no negativos $y$ ya que $\sqrt x \ge 0$ .

Answer 2

Es más fácil empezar por la cuadratura:

$$\sqrt{x} = \frac{x^2}{8} \implies x = \frac{x^4}{64}$$

Reordenando, esto equivale a

$$x^4 - 64x = 0$$

que, a su vez, podemos factorizar como

$$x(x^3 - 64) = 0$$

Resolviendo esto:

Por lo tanto, hay $4$ soluciones: $x = 0$ , $x = \sqrt[3]{64}$ y dos números complejos (en particular, son $\sqrt[3]{64} \omega$ y $\sqrt[3]{64} \omega^2$ donde $\omega = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$ es una raíz tercera primitiva de la unidad). Pero supongo que sólo buscas las soluciones reales, así que nos limitaremos a las dos primeras.

Es necesario comprobar que efectivamente son soluciones de la ecuación dada, ya que podríamos haber introducido soluciones extrañas al elevar al cuadrado ambos lados. Te dejo que compruebes que efectivamente funcionan.