Encontrar todos los pares de primer nummbers $p,q$ tal que $p^3 - q^5 = (p+q)^2$.
Es obvio que $p>q$ $q=2$ no funciona, entonces tanto $p,q$ son impares. Asumiendo $p = q + 2k$ llegamos a la conclusión, por parte de la ecuación, que $k|q^3 - q - 4$ porque $\gcd(k,q)=1$ ($p$ no es primo) y $k=1$ no tiene solución.
También he intentado utilizar algunos módulos, pero no podía.
$$p^3-q^5=(p+q)^2=p^2+2pq+q^2$$ Por eso, $p^3-q^5\ge 0$, lo $p^3\ge q^5$, lo $p>q$. $$p^2(p-1)=p^3-p^2=q^5+2pq+q^2=q(q^4+2p+q)$$
Por lo tanto, $p^2$ divide $q^4+2p+q$ (como que no se puede dividir p) y por lo $q$ divide a (p-1).
Por lo $p^2\le q^4+2p+q$, lo $p\le q^2+1$. A continuación, podemos comprobar fácilmente que $q=2$ no tiene ninguna solución para $p$.
Pero $p$ es primo, y $q^2+1$ $q^2$ no lo son tanto : $$q<p\le q^2-1$$
Así que vamos a $p=aq+b$$1\le a< q$$1\le b<q$.
Tenemos $$q^5=p^3-(p+q)^2=(b^3-b^2)+q.(\dots)$$ Por lo tanto $q$ divide $b^2(b-1)$, lo $b=1$
Por lo tanto $p=aq+1$ $1\le a< q$
Tenemos $$q^5=p^3-(p+q)^2=q.(3a-2(a+1))+q^2.(\dots)$$
Por lo tanto, $q$ divide $a-2$, lo $a=2$.
Por lo $p=2q+1$
$$q^5=q^2.(8q+12-9)$$ $$0=q^3-8q-3=(q-3).(q^2+3q+1)$$
El único entero positivo solución es$q=3$$p=7$.
Al menos uno de $p,q$$3$. Si no, entonces por poco Fermat $p^2\equiv q^2\equiv 1,\, p^3\equiv p,\, q^5\equiv q\pmod{\! 3}$, por lo que
$$p^3-q^5\equiv (p+q)^2\iff p-q\equiv 2+2pq$$
$$\iff pq+p-q+1\equiv 0\iff (p-1)(q+1)\equiv 1\pmod{\! 3}$$
Para LHS a ser distinto de cero, $p\equiv -1,\, q\equiv 1\pmod{\! 3}$, pero todavía congruencia no tiene.
$p^3>q^5$, lo $p\neq 3$. A continuación, $q=3$ y $p\ge 7$. $$p^3-p^2-6p-(3^5+9)=0,$$
así $p\mid 3^5+9\iff p\mid 3^3+1=28\iff p=7$; $\,(p,q)=(7,3)$ obras.
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