Cambio de variables es un método básico en matemática de problemas. Sin embargo, no los puedo usar sin problemas, es decir, no sé cuándo usarlo. (La voy a usar en algunos problemas frecuentes, pero no voy a tener el sentido de su uso en el momento de venir a través de algunos de los nuevos problemas). Además de eso, no estoy seguro de por qué podemos usar el cambio de variables,yo.e.¿por qué el cambio de variable es razonable.Por ejemplo, en el cálculo multivariable, es ampliamente utilizado. Puede alguien darme algunas ideas?
Respuesta
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Esta es una excelente pregunta, pero uno que es bastante difícil de responder. "El cambio de variables" es un ejemplo de resolución de un problema heurístico (o "estrategia") que puede ser muy potente cuando se utiliza en el escenario adecuado.
Tal vez si tuviera que resolver para $x$ en el siguiente usted puede tratar de sustitución:
$$x^4 - 6x^2 + 8 = 0$$
Esto no cambia la estructura del problema original (y después de un poco de práctica, usted puede encontrar una sustitución de $y = x^2$ innecesarios para factorizar el lado izquierdo de la expresión anterior), pero puede cambiar drásticamente su perspectiva sobre el problema. De hecho,
$$y^2 - 6y + 8 = 0$$
es fácilmente visto como una ecuación cuadrática, donde las raíces se pueden encontrar por factorización (o, si usted se siente particularmente obstinada, utilizando la fórmula cuadrática).
Si usted está interesado en leer acerca del problema de la resolución de la heurística, un buen lugar para comenzar es la obra de George Polya y Alan Schoenfeld.
En general, resulta muy difícil desarrollar un sentido de cuándo utilizar la heurística. Para tu pregunta en concreto, esto significa que es difícil de explicar cuando se debe usar un cambio de variables (o alguna otra estrategia). Supongo que sería posible iniciar una lista de situaciones en las que se podría utilizar el cambio de una variable, pero hacerlo bien requiere demasiada generalidad a ser útil (Polya el trabajo seminal de "Cómo resolverlo" sufre de este problema) o demasiado específicas para ser de una longitud razonable o legible.
La mejor manera de aprender acerca de cómo/cuándo cambiar las variables (de hecho, la única manera de que ha demostrado ser eficaz) es resolver un montón y un montón de problemas. Uso heurístico se reduce a la intuición, y la intuición se desarrolla como usted está expuesto a muchas situaciones diferentes y tienen una comadreja su manera de salir de ellos.
Me doy cuenta de esta respuesta, aunque la verdad, es algo decepcionante. Así que permítanme terminar con un problema que puede ser resuelto mediante la sustitución (en un par de maneras diferentes). Resolver para $x$ en la siguiente ecuación: $$(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) = 2013$$
