Demostrar hecho acerca integral de la $\int_0^1 \frac{x^7}{(e^x+e^{-x})\sqrt{1+x^2}}dx$

Question

Cómo probar que $\displaystyle 0,02<\int_0^1 \frac{x^7}{(e^x+e^{-x})\sqrt{1+x^2}}dx<0,05$? Traté de usar los teoremas de valor medio, pero yo no.

Answer 1

Sugerencia: $e^x + e^{-x}$,$[0, 1]$, no es mayor que $3.1$. Y $\sqrt{1 + x^2}$ no es mayor que $\sqrt{2}$. Así que tu integrando es no menos de $$ \frac{x^7}{3.1 \sqrt{2}} \ge \frac{x^7}{4.4} $$

Ahora se integran.

Answer 2

SUGERENCIA:

Tenga en cuenta que$2\le e^x+e^{-x}\le e+e^{-1}$$x\le \sqrt{1+x^2}\le \sqrt{2}$.

Answer 3

$e^x+e^{-x}\geq 2$ por AM-GM, y $\sqrt{1+x^2}>x$

De modo que la integral es menor que la integración de $x^6/2$$0$$1$, lo que equivale a $1/14>0.05$.

$e^x+e^{−x}$, es menor que $3.1$ $(0,1]$ $\sqrt{1+x^2}$ es de menos de $2√2$. Así que tu integrando es mayor que $x^7/3.1\times\sqrt{2}$

Ahora se integran.