Cómo probar esto $x+\sin{x}-2\ln{(1+x)}\ge 0$

Question

Pregunta:

deje $x>-1$, muestran que

$$x+\sin{x}-2\ln{(1+x)}\ge 0$$

esto es cierto,porque :

http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%2Bsinx-2ln%281%2Bx%29

Yo: ya $$f(x)=x+\sin{x}-2\ln{(1+x)}$$ entonces $$f'(x)=1+\cos{x}-\dfrac{2}{1+x}=\dfrac{x-1}{1+x}+\cos{x}=0$$ $$\cos{x}=\dfrac{1-x}{1+x}$$ así

$$\sin{x}=\pm\sqrt{1-x^2}=\pm \dfrac{2\sqrt{x}}{1+x}$$

si $\sin{x}=+\dfrac{2\sqrt{x}}{1+x}$,nbubis probarlo.

Pero cuando $\sin{x}=-\dfrac{2\sqrt{x}}{1+x}$,lo puedo probar.

entonces yo no puedo probarlo.http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28x-1%29%2F%28x%2B1%29%2Bcosx

esta desigualdad parece bueno,Pero no es easty para demostrarlo.

Gracias

Answer 1

Para $x>0$:

En lugar de forma explícita encontrar al $f'=0$, sólo tiene que enchufar el valor en la ecuación original, para conseguir que el valor de $f(x)$ en cualquier punto mínimo es: $$x+\frac{2\sqrt{x}}{1+x}-2\ln(1+x) \ge x+\frac{2\sqrt{x}}{1+x}-2\sqrt{x} = $$ $$\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)^2 x}{x+1} > 0$$ Desde $2\ln(1+x) \le 2\sqrt{x}$.

El resto de los detalles deben ser fáciles de llenar.

Answer 2

Si $g(x)=f(x+2\pi)-f(x),$ $$g(x)=2\pi-2\ln \frac{x+2\pi+1}{x+1}$$ que es monótona creciente y positiva en $x=0$. Esto significa que, siempre $f(x)\ge 0$ se muestra para$x \in (-1,2\pi],$, entonces se sigue que $f(x) \ge 0$ cualquier $x>-1.$

No tengo ninguna otra manera más que estimaciones numéricas de la derivada de $f$ para obtener el mínimo de $f$ $(-1,2\pi],$ pero $0$ a cero, ya que la única otra posibilidad es en el segundo cero ( $x \approx 4.06208$ ) $f'(x)$ (un local min de $f$) y $f$ positiva (sobre $0.022628$). Así que si uno está dispuesto a vivir con este uso de aproximaciones para minimizar $f$ $(-1,2\pi]$ la desigualdad de la siguiente manera.

Answer 3

vamos a hacer varios segmentos que lo demuestran:

1. $x\ge \dfrac{3\pi}{2},x+\sin{x}-2\ln{(1+x)}\ge x-1-2\ln{(1+x)}=h(x)\ge 0 (h'>0)$

2. $ \pi <x < \dfrac{3\pi}{2},x-2\ln{(1+x)}>\dfrac{3x+8}{5}-2ln5,g(x)=\dfrac{3x+8}{5}-2ln5+\sin{x},g'(x)=0$, nos encontramos con un valor min $g_{min}=\dfrac{3(\pi+\sin^{-1}{0.8})+8}{5}-2ln5=.0224>0 $

3. $0\le x\le\pi$, sólo encontramos $f_{max}$, por lo que el min es$f(0)$$f(\pi),f(0)=0,f(\pi)>0$,

4. $-1<x<0$,es fácil.