Mostrar que $\mathbb{P}\left(\bigcap\limits_{r=1}^{\infty}A_r\right)=1$

Question

Vamos $A_r$, $r\geq1$, ser eventos que $\mathbb{P}(A_r)=1$ todos los $r$. Mostrar que $\mathbb{P}\left(\bigcap\limits_{r=1}^{\infty}A_r\right)=1$.

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Para esta pregunta, he utilizado la inducción para demostrar $\bigcap\limits_{r=1}^{n}A_r$ es una disminución de la secuencia de conjuntos, entonces vamos a $n$ enfoques hacia el infinito, es decir, $$\mathbb{P}\left(\bigcap\limits_{r=1}^{\infty}A_r\right)=\mathbb{P}\left(\lim\limits_{n\to\infty}\bigcap\limits_{r=1}^{n}A_r\right)=\lim\limits_{n\to\infty}\mathbb{P}(A_r)=1$$

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Mi pregunta es: ya que cada una de las $\mathbb{P}(A_r)=1$$\mathbb{P}(\Omega)=1$, de mi intuición, creo $A_r=\Omega$ todos los $r$. De alguna manera, no creo que esto es correcto pero no tengo un contra-ejemplo.

Yo también calculadas $\mathbb{P}\left(\bigcup\limits_{r=1}^{\infty}A_r\right)=1$. Entonces me pregunto ¿qué modelo de probabilidad de satisfacer esta pregunta.

Answer 1

Lo $P(A_r)=1$ significa es que es diferente de $\Omega$ sólo por null conjuntos.

Un ejemplo sería algo como esto:

$$A_n := \mathbb{R}\setminus n$$ si dejamos $\mathbb{P}$ la medida asociada con la distribución gaussiana, entonces

$\mathbb{P}(A_r) = 1$ pero $\Omega \setminus A_r \neq \emptyset$