Dejemos que $a$ y $b$ sean números reales positivos. Si $x^2 + y^2 \le1$ entonces el mayor $ax + by$ ¿es?

Question

El problema:

La solución:

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-Por qué la ecuación $y=\frac{a}{b}x+\frac{c}{b}$ a línea si $\frac{c}{b}$ no es constante? Eso es, $c$ varía como $y$ o $x$ varía, pero si esta ecuación es una recta, entonces el término constante $\frac{c}{b}$ no puede variar, precisamente porque es constante lo que no es posible si $c$ es variable. Está claro que me falta un detalle.

-Una línea tangente a un disco no es necesariamente perpendicular al segmento de línea formado por el centro del disco y el punto de intercepción entre la línea y el disco. La línea tangente puede estar inclinada hacia arriba o hacia abajo (por lo tanto, no es perpendicular) y aún así estar ''tocando'' el disco, entonces, ¿por qué en este caso esta línea es necesariamente perpendicular?

Answer 1

Alternativamente, observe la siguiente desigualdad popular: $(ax+by)^2 \le (a^2+b^2)(x^2+y^2)\le a^2+b^2 \implies |ax+by| \le \sqrt{a^2+b^2}\implies ax+by \le \sqrt{a^2+b^2}$ y esto es lo máximo que buscabas.

Answer 2

La línea $ax+by=c$ es el lugar de los puntos del plano donde la función $f(x,y)=ax+by$ alcanza el valor $c$ . Variando $c$ tenemos una familia de líneas paralelas. Buscamos la mayor $c$ tal que la línea $ax+by=c$ se cruza con el disco $x^2+y^2\leq 1$ .

Answer 3

" ¿Por qué la ecuación y=(a/b)x+c/b es una recta si c/b no es constante? Es decir, c varía al variar y o x "

$c$ es una constante. El texto como que se ha estropeado esto. Y luego el abusó de esto. Tal vez una forma más clara de decirlo sería:

Considere un valor $c$ y todos los $x,y$ tal que $ax + by = c$ . Estos puntos forman una línea. Si esta línea pasa por el interior del disco entonces $c$ es un valor posible para $ax + by$ donde $x^2 + y^2 \le 1$ . Si esta línea no llega al disco, entonces $c$ no es un valor posible.

Diferentes valores de $c$ creará diferentes líneas, todas paralelas. los valores más grandes de $c$ estará a la "derecha" de los valores inferiores de $c$ . El mayor valor posible de $c$ que formará la línea que interseca el círculo justo en el punto más alejado de la derecha que puede tener una línea paralela con esa pendiente.

En otras palabras, la línea tangente.

" Una línea tangente a un disco no es necesariamente perpendicular al segmento de línea formado por el centro del disco y el punto de intercepción entre la línea y el disco. "

En realidad, sí lo es. Ese es una condición necesaria.

Considera una línea y un punto que no está en la línea. Podemos construir una recta desde el punto hasta la recta que sea perpendicular a ésta. Dicha perpendicular es única y la longitud de esta perpendicular es la distancia más corta desde el punto a la recta[ $*$ ].

Así que si la línea tangente es no perpendicular al radio, entonces es no la distancia más corta desde el centro hasta la línea. Así que hay un punto de la línea tangente que es un más corto distancia del centro que el radio. Eso significaría que la línea tangente pasa por el interior del círculo y la línea tangente es una cuerda. Es de suponer que esto es imposible, ya que las cuerdas se cruzan con el círculo dos veces y las líneas tangentes sólo una vez.

Además, en un punto de una circunferencia podemos crear una recta perpendicular al radio. El radio será la distancia más corta entre el centro y la recta, por lo que todos los demás puntos de la recta están más alejados del centro que el radio. Por tanto, esta recta interseca al círculo sólo en ese punto.

Por lo tanto, si tangente significa "línea que interseca el círculo exactamente en un punto", entonces esa línea es precisamente la perpendicular al radio y no existe ninguna otra.

Si tangente significa "línea que se cruza en un punto y tiene la misma pendiente de la curva" entonces tenemos que demostrar que las cuerdas que se cruzan con el círculo en dos puntos no pueden ser tangentes. Eso es intuitivamente obvio pero creo que necesitamos conceptos de cálculo para demostrarlo.

[ $*$ ] Esto es básicamente las consecuencias del quinto postulado de Euclides. Una línea paralela existe a través del punto, $p$ y existe una perpendicular única en ese punto. La perpendicular cruza la línea paralela original en una perpendicular también en el punto $q$ . Si tomamos cualquier otro punto, $s$ en la línea tendremos un triángulo rectángulo $pqs$ y la hipotenusa $ps$ será más largo que la base $pq$ . Así que $q$ es el único punto de la línea que está más cerca de $p$ .

Answer 4

$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[8px,border:1px groove navy]{\displaystyle{#1}}\,} \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$ \begin{align} &\pars{a \quad b}{x \choose y} \leq \root{a^{2} + b^{2}}\root{x^{2} + y^{2}} \leq \root{a^{2} + b^{2}} \end{align}