Real jordan en la forma de complejos jordania formulario a continuación, calcular P de la matriz.

Question

Tengo la matriz $$A = \begin{bmatrix} 5 & 0 & 1 & 0 & 0 & -6 \\ 3 & -1 & 3 & 1 & 0 & -6 \\ 6 & -6 & 5 & 0 & 1 & -6 \\ 7 & -7 & 4 & -2 & 4 & -7 \\ 6 & -6 & 6 & -6 & 5 & -6 \\ 2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$

Esto puede ser presentada en los siguientes Jordan en la forma, es decir,$A = TJT^{-1}$.

$$J = \begin{bmatrix} 2-3j & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2-3j & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2-3j & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2+3j & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2+3j & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2+3j \end{bmatrix}$$

$$T = \begin{bmatrix} 2j & 2j & 1+j & -2j & -2j & 1-j \\ 1+j & 2j & j & 1-j & -2j & -j \\ 0 & 2j & 2j & 0 & -2j & -2j \\ 0 & 1+j & 2j & 0 & 1-j & -2j \\ 0 & 0 & 2j & 0 & 0 & -2j \\ -1+j & -1+j & j & -1-j & -1-j & -j \end{bmatrix} $$

Ahora tengo que poner Una en su real Jordan en la forma. Esto es fácil: $$J^{R} = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ -3 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -3 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -3 & 2 \end{bmatrix} $$

Ahora tengo que calcular $V$ tal que $VJ^RV^{-1} = A$. Mi pregunta ahora es ¿cómo puedo calcular el $V$? Para los verdaderos valores de jordania formas esto es fácil. Sólo tengo que calcular los vectores propios de A, $\{T_i\}$ y, a continuación,$T = \begin{bmatrix} T_1 | T_2 | \ldots | T_n\end{bmatrix}$.

Answer 1

Observe que, con todos los complejos par de autovalores $\lambda = a \pm ib$, existe un complejo par de vectores propios $u \pm i v$. Si usted mira las columnas de la matriz $T$, se puede observar que pueda par de seguridad de los vectores propios de acuerdo a complejos conjugados en este modo preciso.

En el real de la forma canónica, cada uno de su real Jordania bloques de $\begin{bmatrix} a & -b \\ b & a \end{bmatrix}$ proviene directamente de los subespacios propios generados por los vectores propios $u \pm iv$. Por lo que su $V$ debe verse como $$V = [v_1 | u_1 | v_2 | u_2 | v_3 | u_3]$$