¿Cuál es el pdf de $Z=X/\max(X,Y)$ $X,Y$ exponenciales de parámetro lambda?

Question

Dado $X,Y$ 2 independiente de r.v.'s distribuida como $\exp(λ)$, ¿cuál es el pdf de $Z=X/\max(X,Y)$?

Answer 1

Para $0 < t < 1$, \begin{align} P(Z < t) =& P(X < t \max(X,Y)) \\ =& P(Y>X \text{ and }X < tY) \\ =& P(X < tY) \\ =& \int_{0}^{+\infty} \lambda e^{-\lambda y}(\int_{0}^{ty }\lambda e^{-\lambda x} dx)dy \\ =& \frac{t}{1+t} \end{align}

y $P(Z = 1) = P(X \geq Y) = \frac{1}{2}$.

Aquí tenemos la cdf, ya que no es absolutamente continua con respecto a la medida de Borel, no hay ningún pdf.