Encontrar todas las funciones $f(x)+f(\frac{1}{1-x})=x$

Question

Me gustaría encontrar todas las funciones $f:\mathbb{R}\backslash\{0,1\}\rightarrow\mathbb{R}$ tal que

$$f(x)+f\left( \frac{1}{1-x}\right)=x.$$

No sé cómo resolver el problema. ¿Puede alguien explicar cómo resolverlo?

En uno de mis intentos hice lo siguiente, que me confundió: Por la sustitución $y=1-\frac{1}{x}$ se obtiene

$f(y)+f\left( \frac{1}{1-y}\right)=\frac{1}{1-y}$ . Así que con $x=y$ se deduce que $0=x-\frac{1}{1-x}$ . Por lo que se deduce que no hay solución. ¿Es eso posible o hay un error?

Saludos cordiales

Answer 1

Me gustaría arrojar algo de luz sobre esta cuestión adoptando un punto de vista más abstracto.

En mi respuesta a esta pregunta reciente : ( No se puede resolver la ecuación ), he utilizado el siguiente grupo de funciones (con el significado algebraico de la palabra "grupo")

$$\begin{cases}\phi_1(x)=x, & \ \ \ \ \phi_2(x)=1-x, & \ \ \ \ \ \phi_3(x)=\tfrac{1}{x},\\ \phi_4(x)=1-\tfrac{1}{x}, & \ \ \ \ \phi_5(x)=\tfrac{1}{1-x}, & \ \ \ \ \ \phi_6(x)=\tfrac{x}{x-1}.\end{cases}$$

También en este caso, la presencia de este grupo es natural porque proporciona todos los cambios de variables potencialmente fructíferos que conduce en última instancia a la solución.

Tomemos la siguiente notación:

$$\psi_k(x):=f(\phi_k(x))$$

Así, la ecuación funcional dada se puede escribir:

$$\tag{1} f(x)+f(\phi_5(x))=x \ \ \ \iff \ \ \ \color{red}{f(x)+\psi_5(x)=x},$$

Sustitución $x \to \phi_4(x)$ en (1) da:

$$\tag{2}f(\phi_4(x))+f(\underbrace{\phi_5(\phi_4(x))}_{\phi_1(x)=x})=\phi_4(x) \ \iff \ \color{red}{\psi_4(x)+f(x)=1-\tfrac{1}{x}},$$

Sustitución $x \to \phi_5(x)$ en (1) da:

$$\tag{3}f(\phi_5(x))+f(\underbrace{\phi_5(\phi_5(x))}_{\phi_4(x)})=\phi_5(x) \ \iff \ \color{red}{\psi_5(x)+\psi_4(x)=\tfrac{1}{1-x}}.$$

Basta ahora con hacer la siguiente combinación de las ecuaciones (1)+(2)-(3) (las partes en rojo) para obtener:

$$f(x)=\frac12\left(x+1-\frac{1}{x}-\frac{1}{1-x}\right)$$

Observación: el grupo de funciones $\phi_k$ se denomina "grupo de relaciones cruzadas". Se le ha dado este nombre a finales del siglo XIX en relación con la geometría proyectiva.

Para una presentación moderna de la relación cruzada, consulte, por ejemplo, ( http://www.maths.gla.ac.uk/wws/cabripages/klein/pinvariant.html ).

Answer 2

hacer $x:= \frac{1}{1-x}$ entonces

$$f\left( \frac{1}{1-x}\right)+f\left( \frac{1}{1-\frac{1}{1-x}}\right)=\frac{1}{1-x}\to f\left( \frac{1}{1-x}\right)+f\left(1- \frac{1}{x}\right)=\frac{1}{1-x}\quad (1)$$

hacerlo de nuevo en la última ecuación:

$$f\left( \frac{1}{1-\frac{1}{1-x}}\right)+f(x)=\frac{1}{1-\frac{1}{1-x}}\to f\left(1- \frac{1}{x}\right)+f(x)=1- \frac{1}{x}\quad (2)$$

ahora hacer $(1)-(2)$ y conseguir:

$$f\left( \frac{1}{1-x}\right)-f(x)=\frac{1}{1-x}-1+\frac{1}{x}$$

Resta la ecuación es la declaración y esta última.

$$2f(x)=x-\frac{1}{1-x}+1-\frac{1}{x}\to f(x)=\frac12\left(x-\frac{1}{1-x}+1-\frac{1}{x}\right)$$

Answer 3

Sustituyendo $x$ con $\frac{1}{1-x}$ y $\frac{x-1}{x}$ secuencialmente, se obtiene un sistema de 3 ecuaciones. Entonces, puedes obtener la solución.