Estoy empezando a aprender sobre las funciones analíticas reales, y me encontré con un conflicto con dos definiciones. En "Real Mathematical Analysis" de Pugh, dice que $f:(a,b)\to\mathbb{R}$ es analítica si para cada $x\in (a,b)$ existe un $\delta>0$ y una serie de potencias $\sum_{r=0}^{\infty}a_rh^r$ tal que si | $h$ | $<\delta$ entonces la serie converge y $f(x+h)=\sum_{r=0}^{\infty}a_rh^r$ , donde $a_r=f^r(x)/r!$
Esto parece un poco diferente de la mayoría de las definiciones que he visto: Una función $f:(a,b)\to\mathbb{R}$ es analítica en $c\in (a,b)$ si hay algún $\delta>0$ tal que $f(x)=\sum_{r=0}^{\infty}f^r(c)/r!(x-c)^r$ .
Sin embargo, tengo problemas para ver cómo estas definiciones son equivalentes, en particular la $f(x+h)$ vs $f(x)$ . ¿Es porque en la definición de Pugh, si dejamos $y=x+h$ obtenemos $f(y)=\sum_{r=0}^{\infty}f^r(x)/r!(y-x)^r$ así que en la definición de Pugh, $y$ desempeña el papel de $x$ en la segunda definición, y la de Pugh $x$ desempeña el papel de $c$ en la segunda definición. ¿Es eso?
