Si $\alpha,\beta\in C$ son algebraicas sobre $Q$ , demuestran que $\alpha+\beta$ es una raíz de un polinomio cuadrático en $Q[x]$ (con condiciones).

Question

Necesito demostrar (b) a (c): He demostrado que $[Q(\alpha,\beta):Q(\alpha+\beta)][Q(\alpha+\beta):Q]=2$ Pero no puedo proceder desde allí ¿alguna sugerencia?

¿y si b=-1?

Editar: cualquier pista sobre cómo proceder de la c a la a también sería apreciada

Answer 1

Si $\alpha=a+b\beta$ entonces $\alpha+\beta=a+(b+1)\beta.$ Dejemos que $f$ sea el polinomio de $\beta$ tenemos $g(c)=f(\frac{c-a}{b+1})$ para ser el polinomio de $\alpha+\beta$ .

Answer 2

Por supuesto, tenemos $\alpha+\beta=a+b\beta+\beta=a+(b+1)\beta$ . Desde $\beta$ es algebraico sobre $\mathbb{Q}$ con grado 2. Existe un polinomio

$f\in\mathbb{Q}[X]$ con $f(\beta)=0$ y $\deg(f)=2$ .

A partir de esto se puede construir un polinomio $g$ con $g(a+(b+1)\beta)=0$ con $\deg(g)=2$ .