Prueba derivada de que $x^2 = 2^x$ tiene tres soluciones reales

Question

Soy nuevo en esto de las pruebas y, aunque esta prueba me parece fascinante, espero que alguien pueda ayudarme a entender cómo ha llegado a este resultado el avezado matemático... Supongo que implica alguna abstracción de la función W de Lambert.

Esta es una solución del Libro de Pruebas del Profesor Richard Hammack.

Demostrar la ecuación $x^2 = 2^x$ tiene tres soluciones reales

Prueba:

Por inspección, las cifras $x=2$ y $x=4$ son dos soluciones de esta ecuación. Pero hay una tercera solución. Sea $m$ sea el número real para el que $m2^m = \frac{1}{2}$ . Entonces el número negativo $x=-2m$ es una solución, como sigue.

$x^2=(-2m)^2 = 4m^2 = 4(\frac{m2^m}{2^m})^2 = 4(\frac{\frac {1}{2}}{2^m})^2 = 2^2\cdot[ 2^{-(m+1)}]^2 = 2^x$ .

Por tanto, tenemos tres soluciones $2$ , $4$ y $m$ . $\Box$

De nuevo, entiendo los cálculos dentro de la prueba. Pero, ¿qué proceso mental podría desarrollarse para llegar a esta conclusión?

Answer 1

Es un argumento terrible. La solución deseada surge de la nada de forma totalmente innecesaria. Un enfoque mucho más conceptual, que podrías adoptar sin saber de antemano qué respuesta escupirá, es pensar en lo que los gráficos de $y = x^2$ y $y = 2^x$ (porque estás intentando averiguar cuándo se cruzan). La primera gráfica es una parábola y la segunda una exponencial. En $x = 0$ la parábola está por debajo de la exponencial, y en $x = 2$ se encuentran. Dado que las exponenciales crecen finalmente mucho más rápido que los polinomios, debe haber al menos una solución positiva más cuando la exponencial vuelve a superar a la parábola, que resulta ser $x = 4$ .

Pero también debe haber al menos una solución negativa más, donde la parábola cruza la exponencial mientras decae exponencialmente. No importa cuál sea la forma exacta de esta solución; no se aprende nada expresándola en términos de la función W de Lambert. Es sencillo acotar el intervalo al que debe pertenecer utilizando la función teorema del valor intermedio por ejemplo, debe estar entre $-1$ y $0$ e incluso debe estar entre $-1$ y $- \frac{1}{2}$ .

Puede ver el gráfico en WolframAlpha que te dice al instante y sin trabajo que hay tres soluciones. Con un poco más de trabajo se puede incluso demostrar que las únicas tres soluciones que se pueden ver en este gráfico son de hecho las únicas soluciones.