Resolución de $(x^2, y^2, xy+yz)$

Question

Vamos $S = k[x,y,z]$ ($k$ de campo) y deje $I$ ser el ideal $(x^2,y^2,xy+yz)$. Yo calcula un mínimo de resolución libre de $S/I$, y las dimensiones de la libre módulos en la resolución de 1,3,3,1. (Sólo para asegurarse, me confirmó el resultado con Singular.)

Pero ahora, veo el siguiente resultado en Eisenbud de La Geometría de los Esquemas (Teorema III-61, p. 133):

Si $I$ es el ideal homogéneo de un cero-dimensional subscheme $X \subset \mathbb{P}_K^2$, entonces cualquier mínimo libre de la resolución de la homogeneidad de las coordenadas anillo de $S/I$ tiene la forma $$0 \longrightarrow \sum_{j=1}^{n-1} S(-b_{2j}) \longrightarrow \sum_{j=1}^{n} S(-b_{1j}) \longrightarrow S.$$

(He corregido lo que parece ser un error tipográfico en Eisenbud, a saber, la falta de una suma de más de la $S(-b_{1j})$ plazo.)

La resolución citada en el teorema tiene sólo tres a cero, pero la que yo he calculado tiene cuatro. Lo que pasó? ¿Debo suponer que $I$ es saturada por el teorema se aplica? (La saturación de $I$ $(x^2,y)$ a que sólo 3 de los términos en el libre mínima de resolución de dimensiones 1,2,1, lo cual es consistente con el teorema anterior).

Answer 1

Yo creo que tu interpretación es la correcta.

Deje $I$ ser homogénea ideal de cero-dimensional esquemas $X \subseteq \mathbb{P}^2$. Deje $S = k[x,y,z]$ ser homogénea coordinar anillo de $\mathbb{P}^2$. A continuación, la homogeneidad de las coordenadas anillo de $X$ $S/I$ es de (Krull) dimensión $1$. La anteriormente citada resolución es un caso especial de Hilbert-Burch teorema. Podemos aplicar el teorema de si el ideal $I$ es Cohen-Macaulay ideal, es decir, $S/I$ es Cohen-Macaulay, de codimension $2$. Cuando $\dim S/I = 1$, $I$ es Cohen-Macaulay si y sólo si $I$ no se han incorporado los componentes. Por lo tanto, saturando con respecto a la irrelevante ideal maximal $(x,y,z)$ tenemos una Cohen-Macaulay ideal.

En otras palabras, el ideal original $I$ en tu ejemplo no es Cohen-Macaulay ideal, pero su saturación. Si usted usa en Singular, puede que desee comparar el principal descomposiciones de $I$ y su saturación.